Un sistema lineare può essere risolto utilizzando il metodo di sostituzione, o il metodo di riduzione, oppure il metodo del confronto. In questa lezione vedremo invece il metodo di Cramer e lo applicheremo ad alcuni esercizi per vedere come funziona.
Consideriamo un generico sistema di due equazioni lineari a due incognite. Effettuando alcune operazioni algebriche, possiamo sempre arrivare a scriverlo nella seguente forma:
dove sono numeri reali qualsiasi (l’unica condizione che poniamo, anche se non è strettamente necessaria, è che e oppure e non siano contemporaneamente uguali a : altrimenti una delle due equazioni non conterrebbe le incognite).
Rappresentiamo questo sistema in una maniera diversa dal solito. Prendiamo tutti i coefficienti dei termini con le incognite e che sono presenti nelle due equazioni, e scriviamoli in una tabella, che di solito, viene chiamata matrice dei coefficienti: Anche i termini noti e possono essere scritti in una tabella che, di solito, viene chiamata vettore dei termini noti: Possiamo dunque dire che avere a che fare con un sistema lineare di due equazioni a due incognite è come trattare con una matrice con due righe e due colonne (che contiene quindi quattro numeri), e con un vettore con due righe (che contiene quindi due numeri).
Definizione
Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite con matrice dei coefficienti . Il determinante del sistema è il numero Spesso si dice anche che è il determinante della matrice dei coefficienti .
A volte il determinante della matrice si scrive nel seguente modo: Inoltre, un modo abbastanza comodo per ricordarsi come si calcola il determinante è il seguente:
- moltiplicare gli elementi presenti sulla diagonale della tabella che parte da in basso a destra (fare cioè );
- moltiplicare gli elementi presenti sulla diagonale della tabella che parte da in basso a sinistra (fare cioè );
- sottrarre il secondo numero al primo.
Definizione
Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite con matrice dei coefficienti e vettore dei termini noti . Si chiama determinante dell’incognita , e lo indichiamo con , il determinante della matrice ottenuta sostituendo in la colonna dei coefficienti dei termini della con il vettore dei termini noti (rispettando l’ordine delle equazioni). In formule:
##KATEX##\begin{aligned}A_x & = \left ( \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right )\\
D_x = det (A_x) & = \left | \right | = c_1b_2 - c_2b_1
\end{aligned}
In maniera analoga possiamo definire il determinante dell’incognita :
Tutte queste definizioni trovano utilità nella regola di Cramer, che enunciamo qui sotto.
Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite, con matrice dei coefficienti e vettore dei termini noti . Allora il sistema è determinato (cioè, ammette una sola soluzione) se e solo se il determinante del sistema è diverso da zero. In questo caso, la soluzione del sistema è la coppia data da: dove e sono i determinanti dell’incognita e rispettivamente.
Se il determinante è invece uguale a zero, il sistema può essere alternativamente impossibile (cioè, non ammette alcuna soluzione) o indeterminato (cioè, ammette infinite soluzioni). La prima situazione si verifica quando sia che sono diversi da zero, mentre se almeno uno tra e si annulla allora il sistema è indeterminato.
Proviamo ad applicare questa regola al sistema:
Scriviamo la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti: Il determinante del sistema è . Dato che , il sistema è determinato.
I determinanti delle incognite sono:
##KATEX##\begin{aligned}D_x & = \left | \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right | = \left | \right | = 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7 \\
D_y & = \left | \right | = \left | \right | = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = 2 -9 = -7
\end{aligned}
e quindi per la regola di Cramer l’unica soluzione del sistema è data da: In effetti si verifica facilmente che, risolvendo questo sistema con il metodo di sostituzione o di riduzione, la soluzione è proprio questa; o più semplicemente si può sostituire al posto di e al posto di per verificare che entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.
Quali sono i pro e i contro del metodo di Cramer?
PRO:
- si può utilizzare per capire in fretta se il sistema è determinato.
- come vedremo nel prossimo paragrafo, è generalizzabile in maniera naturale a sistemi con equazioni e incognite.
- una volta che si ha familiarità con le formule, è abbastanza rapido.
CONTRO:
- non molto semplice da memorizzare quando si affronta per la prima volta.
- all'aumentare delle equazioni e delle incognite, i calcoli diventano molto lunghi (vedi prossimo paragrafo).
- quando il determinante del sistema è zero, bisogna fare un'analisi separata (con un altro metodo) per capire se il sistema è indeterminato o impossibile.
Regola di Cramer per sistemi con equazioni lineari a incognite
La regola di Cramer, che abbiamo visto applicata a un sistema di due equazioni lineari a due incognite, può essere riformulata per risolvere un sistema di equazioni lineari a incognite. È infatti possibile definire un determinante anche per un sistema di questo tipo, a partire dalla sua matrice dei coefficienti (che avrà righe e colonne); in maniera analoga a quanto fatto prima, inoltre, si possono definire i determinanti di ciascuna delle incognite. Se , la soluzione del sistema è unica ed è la -upla data da: in perfetta analogia con quello che abbiamo fatto per due equazioni lineari a due incognite.
L’espressione per il determinante di una matrice con righe e colonne è, però, molto complicata. Ci limiteremo solo ad analizzare il caso appena più complicato rispetto a quanto fatto nella sezione precedente, e cioè il caso .
Consideriamo allora un sistema di equazioni lineari in incognite:
In questo caso la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti sono: Il determinante della matrice , o meglio, di una qualsiasi matrice con righe e colonne, è dato dalla seguente formula (di cui non forniamo né una motivazione né una dimostrazione): Possiamo ricordare abbastanza facilmente questa formula con un “trucco”: la Regola di Sarrus. Questa regola consiste in:
- riscrivere le prime due colonne della matrice a fianco di stessa;
- considerare le diagonali evidenziate in figura:
- moltiplicare fra loro i numeri collegati dalle linee che abbiamo tracciato e sommare i risultati che abbiamo ottenuto, mettendo un segno meno davanti alle moltiplicazioni che derivano dalle diagonali in blu.
Proseguiamo con la risoluzione del sistema. In maniera del tutto analoga a quanto fatto prima per due equazioni a due incognite, costruiamo le matrici :
##KATEX##\begin{aligned}A_x & = \left ( \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}##KATEX## \right ) \\
A_y & = \left ( \right ) \\
A_z & = \left ( \right )
\end{aligned}
Possiamo quindi trovare i determinanti dell’incognita . Se , il sistema ha una sola soluzione .
Facciamo un esempio. Consideriamo il sistema:
Il modo in cui abbiamo scritto il sistema rende più facile la compilazione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti : Allora:
Siccome , il sistema ha una sola soluzione. Si può verificare che e quindi che la soluzione di questo sistema è la terna .
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino