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Il metodo di Cramer e i sistemi lineari di equazioni

Un sistema lineare può essere risolto utilizzando il metodo di sostituzione, o il metodo di riduzione, oppure il metodo del confronto. In questa lezione vedremo invece il metodo di Cramer e lo applicheremo ad alcuni esercizi per vedere come funziona. 

Consideriamo un generico sistema di due equazioni lineari a due incognite. Effettuando alcune operazioni algebriche, possiamo sempre arrivare a scriverlo nella seguente forma:
{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2 y = c_2\end{cases}
dove a1,a2,b1,b2,c1,c2a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 sono numeri reali qualsiasi (l’unica condizione che poniamo, anche se non è strettamente necessaria, è che a1a_1 e b1b_1 oppure a2a_2 e b2b_2 non siano contemporaneamente uguali a 00: altrimenti una delle due equazioni non conterrebbe le incognite).

Rappresentiamo questo sistema in una maniera diversa dal solito. Prendiamo tutti i coefficienti dei termini con le incognite xx e yy che sono presenti nelle due equazioni, e scriviamoli in una tabella, che di solito, viene chiamata matrice dei coefficienti: A=(a1b1a2b2)A = \left ( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right ) Anche i termini noti c1c_1 e c2c_2 possono essere scritti in una tabella che, di solito, viene chiamata vettore dei termini noti: c=(c1c2)c = \left ( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right ) Possiamo dunque dire che avere a che fare con un sistema lineare di due equazioni a due incognite è come trattare con una matrice AA con due righe e due colonne (che contiene quindi quattro numeri), e con un vettore cc con due righe (che contiene quindi due numeri).

 

Definizione

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite con matrice dei coefficienti AA. Il determinante del sistema è il numero D=a1b2a2b1D = a_1b_2 - a_2b_1Spesso si dice anche che DD è il determinante della matrice dei coefficienti AA.

 

A volte il determinante della matrice AA si scrive nel seguente modo: D=det(A)=a1b1a2b2D = det(A) = \left | \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right | Inoltre, un modo abbastanza comodo per ricordarsi come si calcola il determinante è il seguente:

  • moltiplicare gli elementi presenti sulla diagonale della tabella che parte da in basso a destra (fare cioè a1b2a_1 \cdot b_2);
  • moltiplicare gli elementi presenti sulla diagonale della tabella che parte da in basso a sinistra (fare cioè a2b1a_2 \cdot b_1);
  • sottrarre il secondo numero al primo.

Definizione

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite con matrice dei coefficienti AA e vettore dei termini noti cc. Si chiama determinante dell’incognita xx, e lo indichiamo con DxD_x, il determinante della matrice AxA_x ottenuta sostituendo in AA la colonna dei coefficienti dei termini della xx con il vettore dei termini noti cc (rispettando l’ordine delle equazioni). In formule:
##KATEX##\begin{aligned}A_x & = \left ( \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right )\\
D_x  = det (A_x) & = \left | c1b1c2b2\begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right | = c_1b_2 - c_2b_1
\end{aligned}
In maniera analoga possiamo definire il determinante dell’incognita yy: Dy=det(Ay)=a1c1a2c2=a1c2a2c1D_y = det (A_y) = \left | \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right | = a_1c_2 - a_2c_1

 

Tutte queste definizioni trovano utilità nella regola di Cramer, che enunciamo qui sotto.

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite, con matrice dei coefficienti AA e vettore dei termini noti cc. Allora il sistema è determinato (cioè, ammette una sola soluzione) se e solo se il determinante DD del sistema è diverso da zero. In questo caso, la soluzione del sistema è la coppia (x,y)=(a,b)(x, y) = (a, b) data da: a=DxD,b=DyDa = \frac{D_x}{D}, \quad b = \frac{D_y}{D}dove DxD_x e DyD_y sono i determinanti dell’incognita xx e yy rispettivamente.

Se il determinante DD è invece uguale a zero, il sistema può essere alternativamente impossibile (cioè, non ammette alcuna soluzione) o indeterminato (cioè, ammette infinite soluzioni). La prima situazione si verifica quando sia DxD_x che DyD_y sono diversi da zero, mentre se almeno uno tra DxD_x e DyD_y si annulla allora il sistema è indeterminato.

 

Proviamo ad applicare questa regola al sistema:

{2xy=33x+2y=1\begin{cases}2x - y = 3 \\3x + 2y = 1\end{cases}
Scriviamo la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti: A=(a1b1a2b2)=(2132)c=(c1c2)=(31) A = \left ( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right ) \quad c = \left ( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right ) Il determinante del sistema è D=a1b2a2b1=223(1)=4+3=7D = a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7. Dato che D0D \neq 0, il sistema è determinato.
I determinanti delle incognite sono:
##KATEX##\begin{aligned}D_x & = \left | \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right | = \left | 3112\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right | = 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7 \\
D_y & = \left | a1c1a2c2\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right | = \left | 2331\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right | = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = 2 -9 = -7
\end{aligned}
e quindi per la regola di Cramer l’unica soluzione (a,b)(a, b) del sistema è data da: a=DxD=77=1,b=DyD=77=1a = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = 1, \qquad b = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{7} = -1In effetti si verifica facilmente che, risolvendo questo sistema con il metodo di sostituzione o di riduzione, la soluzione è proprio questa; o più semplicemente si può sostituire aa al posto di xx e bb al posto di yy per verificare che entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.

 

Quali sono i pro e i contro del metodo di Cramer?

PRO:

  • si può utilizzare per capire in fretta se il sistema è determinato.
  • come vedremo nel prossimo paragrafo, è generalizzabile in maniera naturale a sistemi con nn equazioni e nn incognite.
  • una volta che si ha familiarità con le formule, è abbastanza rapido.


CONTRO:

  • non molto semplice da memorizzare quando si affronta per la prima volta.
  • all'aumentare delle equazioni e delle incognite, i calcoli diventano molto lunghi (vedi prossimo paragrafo).
  • quando il determinante del sistema è zero, bisogna fare un'analisi separata (con un altro metodo) per capire se il sistema è indeterminato o impossibile.

 

Regola di Cramer per sistemi con nn equazioni lineari a nn incognite

La regola di Cramer, che abbiamo visto applicata a un sistema di due equazioni lineari a due incognite, può essere riformulata per risolvere un sistema di nn equazioni lineari a nn incognite. È infatti possibile definire un determinante DD anche per un sistema di questo tipo, a partire dalla sua matrice dei coefficienti (che avrà nn righe e nn colonne); in maniera analoga a quanto fatto prima, inoltre, si possono definire i determinanti Dx1,Dx2,DxnD_{x_1}, D_{x_2}, \ldots D_{x_n} di ciascuna delle nn incognite. Se D0D \neq 0, la soluzione del sistema è unica ed è la nn-upla (z1,z2,zn)(z_1, z_2, \ldots z_n) data da: z1=Dx1D,z2=Dx2D,zn=DxnDz_1 = \frac{D_{x_1}}{D}, \quad z_2 = \frac{D_{x_2}}{D}, \quad \ldots \quad z_n = \frac{D_{x_n}}{D}in perfetta analogia con quello che abbiamo fatto per due equazioni lineari a due incognite.

L’espressione per il determinante di una matrice con nn righe e nn colonne è, però, molto complicata. Ci limiteremo solo ad analizzare il caso appena più complicato rispetto a quanto fatto nella sezione precedente, e cioè il caso n=3n = 3.

Consideriamo allora un sistema di 33 equazioni lineari in 33 incognite:
{a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\a_3x + b_3y + c_3z = d_3\end{cases}
In questo caso la matrice dei coefficienti AA e il vettore dei termini noti dd sono: A=(a1b1c1a2b2c2a3b3c3),d=(d1d2d3) A = \left ( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right ), \qquad d = \left ( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right ) Il determinante della matrice AA, o meglio, di una qualsiasi matrice con 33 righe e 33 colonne, è dato dalla seguente formula (di cui non forniamo né una motivazione né una dimostrazione): det(A)=a1b2c3+b1c2a3+a2b3c1c1b2a3c2b3a1a2b1c3det(A) = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + a_2b_3c_1 - c_1b_2a_3 - c_2b_3a_1 - a_2b_1c_3Possiamo ricordare abbastanza facilmente questa formula con un “trucco”: la Regola di Sarrus. Questa regola consiste in:

  • riscrivere le prime due colonne della matrice AA a fianco di AA stessa;
  • considerare le diagonali evidenziate in figura:
  • moltiplicare fra loro i numeri collegati dalle linee che abbiamo tracciato e sommare i risultati che abbiamo ottenuto, mettendo un segno meno davanti alle moltiplicazioni che derivano dalle diagonali in blu.

Proseguiamo con la risoluzione del sistema. In maniera del tutto analoga a quanto fatto prima per due equazioni a due incognite, costruiamo le matrici Ax,Ay,AzA_x, A_y, A_z:
##KATEX##\begin{aligned}A_x & = \left ( \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}##KATEX## \right ) \\
A_y & = \left ( a1d1c1a2d2c2a3d3c3\begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix} \right ) \\
A_z & = \left ( a1b1d1a2b2d2a3b3d3\begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix} \right )
\end{aligned}
Possiamo quindi trovare i determinanti dell’incognita Dx,Dy,DzD_x, D_y, D_z. Se D0D \neq 0, il sistema ha una sola soluzione (a,b,c)=(DxD,DyD,DzD)(a, b, c) = \left ( \frac{D_x}{D}, \frac{D_y}{D}, \frac{D_z}{D} \right ).

Facciamo un esempio. Consideriamo il sistema:
{3x+2z=1yz=3x+y+z=2\begin{cases}3x+ & & 2z &=1 \\& y & -z & =3 \\x & +y &+z & =2\end{cases}
Il modo in cui abbiamo scritto il sistema rende più facile la compilazione della matrice dei coefficienti AA e del vettore dei termini noti dd: A=(302011111),d=(132) A = \left ( \begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right ), \qquad d = \left ( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right ) Allora: 

D=311+0(1)1+2012113(1)1001==3+0+02+30=4\begin{aligned}D & = 3 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \cdot 1 - 0 \cdot 0 \cdot 1 = \\& = 3 + 0 + 0 - 2 + 3 - 0 = 4\end{aligned}

Siccome D0D \neq 0, il sistema ha una sola soluzione. Si può verificare che Dx=4,Dy=8,Dz=4D_x = 4, D_y = 8, D_z = -4 e quindi che la soluzione di questo sistema è la terna (a,b,c)=(44,84,44)=(1,2,1)(a, b, c) = \left ( \frac{4}{4}, \frac{8}{4}, \frac{-4}{4} \right ) = (1, 2, -1).

 

Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino