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Il determinante e il rango di una matrice

Il determinante di una matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ può essere introdotto in vari modi. Qui si spiegherà come calcolarlo in modo ricorsivo descrivendo il metodo di Laplace e successivamente se ne riporteranno alcune importanti proprietà.

 

Definizione

Il determinante è una applicazione che associa a una matrice quadrata $A$ un numero reale, che indichiamo con $\text{det}A$ e chiamato semplicemente determinante di $A$. In formule:

##KATEX##\begin{aligned}\text{det}:M_n(\mathbb{R}) & \rightarrow \mathbb{R} \\A & \mapsto \text{det}A\end{aligned}##KATEX##

Il determinante di una matrice può essere calcolato utilizzando il metodo di Laplace, che è un metodo ricorsivo. Questo significa che per calcolare il determinante di una matrice di ordine $n$ bisogna saper calcolare il determinante di una matrice di ordine $n-1$, e quindi il determinante di una matrice di ordine $n-2$, e così via; il processo si arresta alle matrici di ordine $1$, per le quali - per definizione - il determinante non è altro che il valore dell'unico elemento di cui è costituita la matrice.
Per descrivere il metodo di Laplace e bisogna dapprima introdurre la definizione di complemento algebrico.


Definizione

Sia $A \in M_n(\mathbb{R})$ e $a_{ij}$ il suo elemento di posto $(i,j)$. Si definisce complemento algebrico (o cofattore) di $a_{ij}$ il numero \[ A_{ij}=(-1)^{i+j}\text{det}\overline{A}_{ij} \] dove $\overline{A}_{ij}$ si ottiene dalla matrice $A$ cancellando la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna.


Nel caso di una matrice quadrata di ordine $2$, i complementi algebrici sono particolarmente semplici da determinare. Infatti, se utilizziamo la consueta notazione $A = \left [ \begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{smallmatrix} \right ]$, abbiamo:

  • $A_{11} = a_{22}$;
  • $A_{22} = a_{11}$;
  • $A_{21} = -a_{12}$;
  • $A_{12} = -a_{21}$.


In ciascun calcolo abbiamo utilizzato il fatto che il determinante di una matrice quadrata di ordine $1$ è proprio il numero stesso che costituisce la matrice.
Prendiamo invece una matrice $B$ di ordine $3$: \[B=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\0 & 1 & 4\\2 & 1 &3\end{bmatrix}\] Il complemento algebrico $B_{32}$ è dato dalla seguente formula: \[B_{32}=(-1)^{2+3} \text{det} \begin{bmatrix}-1& 3\\0 &4\end{bmatrix}\] Per il momento ci fermiamo qui, dato che non siamo ancora in grado di calcolare il determinante di una matrice di ordine $2$; in ogni caso sappiamo che $B_{32}$ è un numero reale.

 

Teorema (di Laplace o sviluppo di Laplace): sia $A \in M_n(\mathbb{R})$. Il determinante di $A$ è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o di una qualsiasi colonna per i rispettivi complementi algebrici. In formule, lo sviluppo di Laplace rispetto alla riga $i$-esima è \[ \text{det}(A)=a_{i1}A_{i1}+ \dots +a_{in}A_{in} \] mentre lo sviluppo rispetto alla colonna $j$-esima è \[ \text{det}(A)=a_{1j}A_{1j}+ \dots +a_{nj}A_{nj} \]


Facciamo alcuni esempi per chiarire meglio di cosa stiamo parlando.

  • Determinante di una matrice di ordine $2$.
    Prendiamo una generica matrice \[A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\]
    Seguendo il metodo di Laplace rispetto alla prima riga, abbiamo:
    ##KATEX##\begin{aligned}\text{det}(A) & = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12}= \\& = a_{11}a_{22} + a_{12}(-a_{21}) \\& = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\end{aligned}##KATEX##
    Il determinante della matrice $A$ è quindi dato dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulla diagonale e il prodotto degli elementi sulla diagonale secondaria. Per esempio:
    \[\text{det}\begin{bmatrix}1 & 3\\2& -1\end{bmatrix}=1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2=-1-6=-7\]
  • Determinante di una matrice di ordine $3$.
    Consideriamo la matrice
    \[A=\begin{bmatrix}2&0&-3\\0&-1&1\\-2&3&0\end{bmatrix}\]
    Applichiamo il metodo di Laplace sviluppando il determinante rispetto alla prima colonna. Si ha che
    ##KATEX##\begin{aligned}\text{det}(A) & =a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31} = \\& = 2 \cdot \begin{bmatrix} -1&1\\ 3&0 \end{bmatrix}##KATEX## +0 \cdot ##KATEX##\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}##KATEX## -2 \cdot ##KATEX##\begin{bmatrix} 0&-3\\ -1&1 \end{bmatrix}##KATEX## = \\
    & = 2 \cdot (-3) + 0 -2 \cdot (-3)=0.
    \end{aligned}
    Applichiamo invece adesso il metodo di Laplace sviluppando il determinante rispetto alla seconda riga. Ci aspettiamo che alla fine del procedimento ci venga di nuovo $0$; in effetti, si ha che
    ##KATEX##\begin{aligned}\text{det}(A) & =a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}= \\& = -1 \cdot \begin{bmatrix} 2&-3\\ -2&0 \end{bmatrix}##KATEX## -1 \cdot ##KATEX##\begin{bmatrix} 2&0\\ -2&3 \end{bmatrix}##KATEX##= \\
    & =  -1 \cdot (-6)-1 \cdot (6)=0
    \end{aligned}
    Vale la pena di notare che esiste anche un altro metodo per calcolare il determinante di una matrice di ordine 3, chiamato comunemente regola di Sarrus. In questa lezione abbiamo spiegato in cosa consiste questo metodo (nel contesto della risoluzione di sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite con il metodo di Cramer).
  • Determinante di una matrice di ordine $4$.
    Consideriamo la seguente matrice $4 \times 4$:
    \[A=\begin{bmatrix}2& 1&0&-1\\-1& 0&-2&1\\3&0& 0 &0\\1& -1& 2& -2\end{bmatrix}\]
    In questo esempio seguiamo uno stratagemma per ridurre i calcoli: conviene sviluppare il determinante rispetto alla terza riga ove sono presenti tre $0$. Pertanto
    ##KATEX##\begin{aligned}\text{det}A & =3 \cdot\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&-2&1\\-1& 2& -2\end{bmatrix}##KATEX##
    = 3 \cdot \left ( 1 \cdot
    ##KATEX##\begin{bmatrix}-2&1\\2&-2\end{bmatrix}##KATEX##
    -1 \cdot
    ##KATEX##\begin{bmatrix}0&-1\\-2&1\end{bmatrix}##KATEX##
    \right ) =  \\
    & = 3 [ 1 \cdot(4-2) -1 \cdot (-2)]=3(2+2)=12
    \end{aligned}


Adesso elenchiamo alcune importanti proprietà del determinante, senza dimostrarle. Sia $A \in M_n(\mathbb{R})$; si ha che

  • $\text{det}A=\text{det}A^t$ dove $A^t$ è la trasposta di $A$;
  • se $A^{'}$è la matrice ottenuta da $A$ scambiando di posto due colonne o due righe, allora $\text{det}A^{'}=-\text{det}A$;
  • se $A$ ha due righe o colonne uguali o una riga o colonna nulla allora $\text{det}A=0$;
  • $\text{det}A$ non cambia se in $A$ si somma ad una riga o colonna una combinazione lineare delle altre righe o colonne.


Infine si ha un'importante proprietà enunciata nel seguente teorema. 

Teorema (di Binet): siano $A, B \in M_n(\mathbb{R})$. Allora vale la relazione \[\text{det}(A \cdot B)=\text{det}A\cdot \text{det}B. \]

Facciamo un esempio dove vediamo all'opera il teorema di Binet. Siano \[A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&2&1\\-2&1&0\end{bmatrix}\qquadB=\begin{bmatrix}0&-1&-2\\2&0&0\\0&-3&0\end{bmatrix}\] Calcoliamo il determinante di $A$ e di $B$ e facciamone il prodotto; poi calcoliamo il determinante del prodotto delle due matrici, e verifichiamo che le due quantità ottenute siano uguali.

Innanzitutto \[\text{det} A=1 \cdot\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}-2 \cdot\begin{bmatrix}0&-2\\2&1\end{bmatrix}=-1-2(4)=-9\] Mentre \[\text{det}B=-2 \cdot\begin{bmatrix}-1&-2\\-3&0\end{bmatrix}=-2(-6)=12\] Pertanto $\text{det}A \cdot \text{det} B=-9 \cdot 12=-108$.
Calcoliamo adesso la matrice prodotto: \[A \cdot B=\begin{bmatrix}0&5&-2\\4&-3&0\\2&2&4\end{bmatrix}\] Il suo determinante è:
##KATEX##\begin{aligned}\text{det}(A \cdot B) & = -4 \cdot \begin{bmatrix} 5&-2\\ 2&4\end{bmatrix}##KATEX## +2 \cdot ##KATEX##\begin{bmatrix} 5&-2\\ -3&0\end{bmatrix}##KATEX##= \\
& = -4 \cdot (20+4)+2 \cdot(-6)=-96-12=-108.
\end{aligned}

 

Il rango di una matrice

Sia ora $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$ . Introduciamo dapprima la definizione di sottomatrice quadrata di un certo ordine assegnato e la definizione di minore di $A$ per poi definire il rango e descrivere un metodo per calcolarlo.


Definizione

Sia $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$. Una sottomatrice quadrata di ordine $s$ con $s \leq \text{min}\{m,n\}$ di $A$ è la matrice $s \times s$ ottenuta eliminando $m-s$ righe e $n-s$ colonne di $A$.

 

Ad esempio una sottomatrice $3 \times 3$ di

\[ A=\begin{bmatrix}1&0&-2& 3\\0&2&1& 4\\3&-2&1&0\\2&3&-1&1\end{bmatrix} \in M_{4 \times 4} (\mathbb{R})\] è la matrice \[\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&2&1\\3&-2&1\end{bmatrix}\] ottenuta eliminando la quarta riga e la quarta colonna da $A$.

 

Definizione

Sia $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$. I minori di ordine $k$ (con $k \leq \text{min}\{m,n\}$) della matrice $A$ sono i determinanti delle sottomatrici quadrate di ordine $k$.

 

Facciamo un esempio numerico per capire cosa siano i minori di una matrice. Si consideri la seguente matrice $A \in M_{3,4}(\mathbb{R})$: \[A=\begin{bmatrix}1&1&2&0\\0&1&1&1\\-1&1&0&-2\end{bmatrix}\] Un minore di ordine $2$ è per esempio $\text{det}\begin{bmatrix} 1&1\\0&-2 \end{bmatrix}=-2$.


ATTENZIONE:
non si deve confondere il minore di una matrice con la sottomatrice. La sottomatrice infatti è una matrice estratta dalla matrice assegnata, mentre il minore è un numero reale.

 
Definizione

Il rango di una matrice $A$ del tipo $m \times n$ è l'ordine del più grande minore diverso da zero. In altre parole il rango è $k$ se esiste un minore di ordine $k$ diverso da zero e tutti gli eventuali minori di ordine $k+1$ sono nulli.

 

Il rango di una matrice $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ ha alcune interessanti proprietà, che elenchiamo qui (senza dimostrazione).

  • Il rango di $A$ è uguale al rango della sua trasposta.
  • Il rango di $A$ è minore uguale del minimo tra il numero delle righe e delle colonne.
  • Il rango è nullo solo per la matrice identicamente nulla. 
  • Nel caso di una matrice quadrata $A \in M_n(\mathbb{R})$, allora $A$ è invertibile se e solo se $A$ ha rango $n$ (in tal caso si dice che $A$ ha rango massimo).

 

Come calcolare il rango - Il criterio dei minori

Un metodo per determinare il rango di una matrice $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ è il criterio dei minori, che sfrutta la definizione di rango appena esposta.

Il procedimento da svolgere è il seguente. Per prima cosa si controlla se esiste almeno un minore di ordine $k=\text{min}\{m,n\}$ diverso da zero: in tal caso la matrice $A$ ha rango $k$. Se invece non ci fosse, si passa a controllare i minori di ordine $k-1$, e successivamente di ordine $k-2, k-3$ e così via, finchè non si individua il primo minore diverso da zero: l’ordine di questo minore è proprio il rango di $A$.

Facciamo un esempio. Prendiamo la matrice: \[B=\begin{bmatrix}-1&1&-1\\0&2&-2\\1&-3&3\end{bmatrix}\] Partiamo controllando i minori di ordine $k = \text{min}\{3,3\}=3$. L’unico minore di questo tipo è proprio il determinante di $B$:
##KATEX##\begin{aligned}\text{det} \begin{bmatrix} -1&1&-1\\ 0&2&-2\\ 1&-3&3 \end{bmatrix}##KATEX## & = -1 \cdot \text{det} ##KATEX##\begin{bmatrix} 2&-2\\ -3&3 \end{bmatrix}##KATEX## +1 \cdot \text{det} ##KATEX##\begin{bmatrix} 1&-1\\ 2&-2\\ \end{bmatrix}##KATEX##= \\
& = -1 \cdot (6-6)+1 \cdot(-2+2)=0
\end{aligned}
Dato che $B$ ha determinante nullo, si deduce che $B$ ha rango massimo $2$. Si osserva che esiste un minore di ordine $2$ non nullo: esso è il determinante della sottomatrice \[\begin{bmatrix}-1&1\\0&2\end{bmatrix}\] ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna. Di conseguenza $B$ ha rango $2$.

 

Come calcolare il rango - l’algoritmo di Gauss

Esistono anche altri metodi per calcolare il rango di una matrice $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$. Un altro molto noto e utilizzato (anche per altri scopi) è l'algoritmo di Gauss. Tale algoritmo trasforma la matrice assegnata $A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})$ in una matrice equivalente $A^{'}$, detta a scalini, con lo stesso rango di $A$; tale rango coincide con il numero di righe non nulle di $A'$.

Chiariamo con un esempio qual è il risultato dell’algoritmo di Gauss. Consideriamo la matrice \[A=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\2&4&2&4\\0&0&6&6\\-1&-2&1&0\end{bmatrix}\] Dopo aver applicato l'algoritmo di Gauss, si ottiene la matrice a scalini \[A'=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&2&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\] che ha due righe non nulle. Quindi $\text{rg}A^{'}=\text{rg}A=2$.

Ma come funziona l’algoritmo di Gauss? Per calcolare $A^{'}$ dobbiamo lavorare sulle righe di $A$: l’idea è di sottrarre e sommare tra loro le righe di $A$ (moltiplicate eventualmente per determinati coefficienti), in modo da far comparire nella matrice il numero più alto possibile di righe composte unicamente da zeri.
Partiamo dalla matrice $A$ e sottraiamo alla seconda riga il doppio della prima riga: si ottiene la matrice \[ \begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&2&2\\0&0&6&6\\-1&-2&1&0\end{bmatrix}\] Addizionando la quarta con la prima riga si ottiene: \[ \begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&2&2\\0&0&6&6\\0&0&1&1\end{bmatrix}\] Infine sottraendo alla terza riga il triplo della seconda e sottriaiamo alla quarta riga metà della seconda riga e si ottiene la matrice a scalini \[A'=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&2&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\] Tale matrice ha due righe composte interamente da zeri, e non è possibile fare in modo che ce ne siano altre (intuitivamente, non è possibile “mandar via” il $2$ presente al terzo posto della seconda riga, dato che nella prima riga c’è uno $0$ al terzo posto). A questo punto deduciamo che la matrice ha rango $2$.

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