Video su Limiti

Forme di indecisione dei limiti e de L’Hôpital: "zero alla zero" e "zero per infinito"

Come spiegato nel video precedente di questo corso, il Teorema di De L’Hôpital è molto comodo per risolvere le forme indeterminate come $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ e $\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]$. Tale teorema può essere utilizzato anche per risolvere altre forme indeterminate, che possono essere ricondotte alle forme $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ e $\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]$ con alcuni semplici passaggi; a volte, inoltre, potrebbe essere necessario dover utilizzare più volte di fila questo teorema per risolvere la forma indeterminata che si ha di fronte.

In questo video viene illustrato il modo di procedere per ciascun caso con l’aiuto di alcuni esercizi svolti. In particolare, ecco alcune strategie che si possono seguire:

  1. Forma indeterminata $[0 \cdot \infty]$: $$\lim_{x \to c} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$$Il limite al secondo membro si trova nella forma $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ e $\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]$ (a seconda se $g(x) \to \infty, f(x) \to 0$ o se $f(x) \to \infty, g(x) \to 0$ rispettivamente).
  2. Forma indeterminata $\left [0^0 \right]$: $$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} e^{g(x) \cdot \ln(f(x))}$$L’esponente dell’ultimo limite si trova nella forma indeterminata $[0 \cdot \infty]$ e da qui si procede come al punto 1.
  3. Forma indeterminata $[ \infty - \infty]$: si può ricondurre alla forma $\left [ \frac{0}{0} \right ]$  tramite la seguente trasformazione: \begin{align*} \lim_{x \to c} \left [f(x) - g(x) \right ] & = \lim_{x \to c} \left [\frac{f(x) - g(x)}{f(x)g(x)} \cdot f(x)g(x) \right ] = \\ & = \lim_{x \to c} \left [ \left ( \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)} \right ) \cdot f(x)g(x) \right ]\end{align*}L’ultimo limite si troverà così nella forma indeterminata $[0 \cdot \infty]$ e si procede come al punto 1.


In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math