Teorema di de L’Hôpital per le forme di indecisione dei limiti

Il Teorema di De L’Hôpital può essere di grande aiuto quando si deve calcolare il limite di una funzione fratta $\frac{f(x)}{g(x)}$, con $f, g$ funzioni reali di variabile reale, che presenta una forma di indecisione del tipo $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ oppure $\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ]$. Il teorema ci garantisce che, sotto opportune condizioni, vale il seguente risultato: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}$$Questo strumento ci permette quindi di provare a risolvere la forma di indeterminazione calcolando il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore (calcolate separatamente).

Vale la pena di sottolineare quali sono le ipotesi del teorema, cioè le condizioni che devono essere soddisfatte per poterlo utilizzare:

1. $f$ e $g$ derivabili in un intorno di $x_0$;
2. $g’(x) \neq 0$ in un intorno di $x_0$;
3. esiste il limite $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)}$.

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math