La notazione delle derivate

Per indicare la derivata di una funzione $f(x)$ rispetto alla variabile $x$ si possono usare molte notazioni differenti: $f'(x), \dot f(x), \frac{df}{dx}, Df(x).$

• La più comune è: $f'(x)$ in cui si utilizza l'apice dopo il simbolo della funzione (si legge “f primo di x”). Il valore della derivata in un punto $x_0$ è $f'(x_0)$. Questa notazione, introdotta da Lagrange, sottolinea il fatto che $f'$ è una nuova funzione, appunto la funzione derivata, ottenuta derivando $f(x)$. La funzione $f'(x)$ può essere ulteriormente derivata e la sua derivata è indicata con $f''(x)$ (“f secondo”). Continuando otteniamo $f'''(x)$ come derivata di $f''(x)$. A seguire è scomodo utilizzare gli apici, e si preferisce dunque usare un numero tra parentesi: $f^{(4)}(x)$, $f^{(5)}(x)$, …, $f^{(n)}(x)$. Le parentesi sono necessarie per non confondere la derivazione con l'elevamento a potenza. Ovviamente si ha $f'(x)=f^{(1)}(x)$, $f''(x)=f^{(2)}(x)$ e $f'''(x)=f^{(3)}(x)$. L'utilizzo dell'apice è comodo perchè si può inserire nella formula esplicita di ogni funzione: la derivata di $f(x) = \sin(x)$ si può indicare come $(\sin)'(x)$ e analogamente per le altre funzioni. Spesso si scrive, in modo leggermente impreciso, $(\sin x)'$. La notazione “imprecisa” è comune per derivate di funzioni che non hanno un proprio simbolo, ad esempio la derivata di $f(x) = x^n+3$ si può scrivere $(x^n+3)'$.
• Un'altra possibilità, molto comune in fisica, utilizza il punto anziché l'apice: $\dot f (x)$ Se si usa una nuova variabile $y$ per indicare $f(x)$, ponendo $y=f(x)$, la derivata è $\dot y$ e la derivata seconda $\ddot y$. Questa notazione è detta di Newton, ed essendo legata alla fisica è raro trovare derivate oltre la seconda espresse in questa forma.
• Una terza scrittura è la notazione di Leibniz $\frac{df}{dx}$ che richiama la definizione di derivata come limite di un rapporto (si legge “de f su de x”). Ad esempio la derivata di $f(x)=x^n$ si scrive $\frac{d}{dx}(x^n)$. Il valore nel punto $x_0$ si indica con $\frac{df}{dx}(x_0)$. Questa notazione è più scomoda da scrivere, ma mostra alcune proprietà della derivata: se $y=f(g(t))$ è una funzione composta ($y=f(x)$ e $x=g(t)$), vale che: $\frac{dy}{dt}= \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$ come se si trattasse di un'operazione algebrica. Le derivate successive si indicano con: $\frac{d^2f}{dx^2}, \frac{d^3 f}{dx^3}, ..., \frac{d^n f}{dx^n}$
• Un'ultima notazione, detta di Eulero, indica con $Df(x)$ o $D[f(x)]$ la derivata di $f(x)$ e con $Df(x_0)$ o $D[f(x_0)]$ il suo valore in $x_0$. Se necessario si può specificare, come pedice, la variabile su cui si deriva: $D_x f(x)$. Le derivate successive sono: $D^2 f$, $D^3 f$, …, $D^n f$. Questa notazione sottolinea la possibilità di vedere la derivazione come un operatore $D$ che manda la funzione di partenza $f$ in una nuova funzione $Df$, sua derivata.

Riepilogando, se prendiamo una funzione di esempio: $y=f(x)=\log(x^2)+\sin x$, la sua derivata può essere scritta come: $f'(x), y', (\log(x^2)+\sin x)', \dot y, \frac{df}{dx}(x), \frac{d}{dx} (\log(x^2)+\sin x), Df(x), D[\log(x^2)+\sin x].$