Funzione pari o dispari e funzione periodica: simmetrie di una funzione

Analizzando il grafico di una funzione è possibile a volte individuare alcune simmetrie, che rendono lo studio della funzione molto più semplice da affrontare.

Una funzione si dice pari se assume lo stesso valore in corrispondenza di due ascisse opposte nel suo dominio $D$. Con una formula: $$f(x) \text{  pari} \quad \Leftrightarrow \quad f(-x) = f(x) \ \ \forall x \in D$$In questo caso il grafico della funzione sarà simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Una funzione si dice dispari se assume valori opposti in corrispondenza di due ascisse opposte nel suo dominio $D$. Con una formula: $$f(x) \text{  dispari} \quad \Leftrightarrow \quad f(-x) = -f(x) \ \ \forall x \in D$$In questo caso il grafico della funzione presenterà una simmetria centrale rispetto all’origine degli assi.

Queste simmetrie possono facilitare lo studio della funzione perché restringono il “territorio” da analizzare: se una funzione è pari o dispari, infatti, è sufficiente studiarne l’andamento per le ascisse positive, dato che la simmetria fornisce informazioni sufficienti per sapere cosa accade per le ascisse negative nella restante parte del dominio.

È interessante notare che l’unica funzione contemporaneamente pari e dispari è la funzione identicamente nulla $f(x) = 0$.

Una funzione si dice periodica di periodo $T$ se assume lo stesso valore in corrispondenza degli elementi del dominio che che distano $T$ fra loro. Con una formula: $$f(x) \text{ periodica di periodo }T \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = f(x+T) \ \  \forall x \in D$$

 

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3math