Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza: calcolo dell'area

Disegnato un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza, ossia un triangolo avente tutti e tre i vertici sulla circonferenza, si vuole calcolare l'area complessiva delle porzioni di spazio dentro il cerchio, ma fuori dal triangolo, nota soltanto la misura del raggio $r=2$.

Sapendo che l'area del cerchio è per definizione pari a $\pi \  r^2$, noto il raggio, troviamo immediatamente che la sua area è pari a $4 \pi $.
Per trovare l'area richiesta dobbiamo detrarre a questa quella del triangolo equilatero, calcolabile con la formula di Erone.
Essendo i lati tutti e tre uguali, la formula di Erone si semplifica in: $A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Non conoscendo però la misura del lato, $a$, ma solo quella del raggio, $r$, ragioniamo sugli angoli inscritti, servendoci anche delle definizioni delle funzioni trigonometriche di seno, coseno e tangente per arrivare a scrivere $a$ in funzione di $r$.

Fatto questo, effettuiamo la sottrazione tra area del cerchio e area del triangolo e abbiamo l'area cercata.