Teorema dei seni: dimostrazione ed esercizi di trigonometria

In questa lezione illustriamo tutto quello che occorre sapere sul teorema dei seni, che è uno dei due teoremi più importanti della trigonometria, assieme al teorema di Carnot.

Esso afferma che:

In un triangolo qualsiasi il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al doppio della lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta.

Con una formula possiamo scrivere$$ \frac{a}{ \sin (\alpha)} = \frac{b}{ \sin (\beta)} = \frac{c}{ \sin (\gamma)} = 2r $$In questa formula, $\alpha$ è l’angolo opposto al lato $a$, $\beta $ è opposto al lato $b$, $\gamma$ è opposto al lato $c$ e infine $r$ è il raggio della circonferenza circoscritta.

Questo teorema mette in relazione la misura di un lato di un triangolo con il seno di un angolo; da questo concludiamo che la lunghezza di ciascun lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo ad esso opposto. Naturalmente, essendo questo teorema valido per qualsiasi triangolo, è anche possibile applicarlo nella risoluzione di un triangolo rettangolo.

Per dimostrare questo teorema è necessario sfruttare il teorema delle corde, di cui è una diretta conseguenza.

Concludiamo con la risoluzione di qualche semplice esercizio.