Successioni di Cauchy, completezza di R e sua struttura

Video 8 del percorso: Costruzione di insiemi numerici.

Dopo aver dato due (non sono le uniche, tra l’altro) possibili definizioni dei numeri reali, concentriamoci su una proprietà di R che, come vedremo, è considerata fondamentale: la completezza.
Per trattare l’argomento in modo preciso introduciamo prima formalmente le successioni di Cauchy e definiamo "completo" un insieme in cui ogni successione di Cauchy converge; poi, più informalmente, spieghiamo in che senso si può interpretare la completezza come il "non avere buchi".

Una volta identificata la completezza come proprietà che sostanzialmente differenzia R da Q, proponiamo una definizione assiomatica di insieme dei numeri reali.
Questo procedimento è volto a mettere in luce che non è importante cosa si intenda insiemisticamente per numeri reali, ma piuttosto la struttura che essi soddisfano. Ovvero cerchiamo di spiegare cosa vuol dire che R è "semplicemente" un campo ordinato completo, nulla di più.