Questo video contiene le soluzioni ai quesiti 2,5,6,7,8,9 e 10 del questionario assegnato per l’indirizzo PNI (Piano Nazionale di Informatica). I quesiti 1, 3 e 4 coincidono con quelli assegnati all’indirizzo ordinario di liceo scientifico e li trovate nel video precedente di questo corso.
I sette quesiti risolti in questo video riguardano l’analisi (limiti e derivate), il calcolo combinatorio (permutazioni), la probabilità (definizione classica e probabilità condizionata), gli insiemi numerici e una applicazione alla fisica (dilatazione termica).
Quesito 2
Se la funzione f(x)-f(2x) ha derivata 5 in x=1 e derivata 7 in x=2, qual è la derivata di f(x)-f(4x) in x=1?
Quesito 5
In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per esempio 0.38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1.14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di 0.76%)”. È così? Si motivi esaurientemente la risposta.
Quesito 6
Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7!=5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Per esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione?
Quesito 7
In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia gli occhi azzurri?
Quesito 8
Si mostri, senza usare il teorema di l’Hopital, che
Quesito 9
Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che si ai numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.
Quesito 10
Si stabilisca per quali valori reali di k l’equazione x2(3-x)=k ammette due soluzioni distinte appartenenti all’intervallo [0,3]. Posto k=3, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3math