Risolvere un sistema di due equazioni lineari in due incognite significa cercare la soluzione comune a entrambe, ossia le coordinate $(x;y)$ del punto di intersezione sul piano cartesiano delle due rette che sono grafico delle due funzioni lineari.
Primo esempio: si risolve
$$ \begin{cases} 9x - 4y & = -78 \\ 4x + y & = -18 \end{cases} $$
Per applicare il metodo della somma troviamo quel fattore che, moltiplicato per tutti i termini di una delle due equazioni, ci permette poi, addizionando i termini incolonnati (ossia i termini in $x$ fra loro, i termini in $y$ fra loro e i termini noti fra loro) di ottenere un'equazione in una sola incognita. Nel nostro caso moltiplichiamo la seconda equazione per $4$ in modo da annullare nella somma le $y$.
Fatto ciò, ricaviamo l'incognita isolata, nel nostro caso $x = -6$, e inseritone il valore in una qualsiasi delle due equazioni di partenza troviamo anche l'altra, nel nostro caso dalla seconda troviamo che $y = 6$.
La soluzione è dunque $(-6;6)$.
Secondo esempio:
$$ \begin{cases} -3x - 9x & = 66 \\ -7x 4y & = -71 \end{cases} $$
Necessitiamo qui di un fattore moltiplicativo per ciascuna equazione: moltiplichiamo la prima per $4$ e la seconda per $9$, in modo da annullare in somma le $y$. Abbiamo così $x = 5$ e, dalla sostituzione nella prima, otteniamo la soluzione $(5;-9)$.