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Sezione conica: riconoscimento dall'equazione e grafico

Data un'equazione, riconoscere quale sezione conica rappresenta e tracciarne il grafico.

I equazione:
$$ x^2 + y^2 - 2x + 4y = 4 $$
I coefficienti dei quadrati di $x$ ed $y$ sono uguali: si tratta molto probabilmente di un circonferenza, cosa che verifichiamo riconducendo l'equazione alla forma standard completando i quadrati algebricamente.
Espressa in forma implicita, l'equazione mette in evidenza la misura del raggio e le coordinate del centro. A questo punto non ci è difficile tracciare il grafico del nostro cerchio sul piano cartesiano.

II equazione:
$$ 2x^2 + y+ 12x+ 16 = 0 $$
Dando un occhiata, ci accorgiamo subito che manca il termine in $y^2$: con ogni probabilità, si tratta di una parabola.
Ci riconduciamo quindi alla forma canonica di una parabola: scriviamo la $y$ come funzione di secondo grado di $x$.
A questo punto si tratta di individuare gli zeri, scrivere un quadrato perfetto e riarrangiare l'equazione in modo da ottenere una relazione tra $y$ e $x^2$ che ci permetta di individuare concavità e apertura della parabola: il verso della concavità è indicato dal segno del coefficiente di $x^2$, l'apertura dal coefficiente stesso.