In questa lezione vediamo alcuni esempi famosi di serie numeriche, quando esiste la loro somma e come calcolarla.
Innanzitutto introduciamo le serie geometriche. Se $q \in \mathbb{R}$ è un numero reale, si dice serie geometrica di ragione $q$ la serie $$ \sum_{n = 0}^{+\infty} q^n $$Dato che la successione delle somme parziali vale $s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, come si può verificare con alcuni semplici calcoli, applicando la definizione dei vari caratteri di una serie possiamo dire che$$ \sum_{n = 0}^{+\infty} q^n \begin{cases} \text{converge a } \frac{1}{1-q} \text{ se } | q | < 1 \\ \text{diverge a } +\infty \text{ se } q \geq 1 \\ \text{è indeterminata se } q \leq -1 \end{cases}$$Definiamo poi le cosiddette serie telescopiche, serie in cui il termine generale ha un’espressione per la quale, nel calcolo della successione delle somme parziali, si elidono tutti i termini tranne il primo e l’ultimo: avremo quindi $s_n = b_0 - b_n$ (dove, attenzione, non è detto che $b_n$ sia il termine generale della serie). La più famosa è la serie di Mengoli, $\sum \frac{1}{ n (n+1)} = \sum \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$, per la quale $s_n = 1 - \frac{1}{n+1}$, e che, quindi, converge a $1$.
Le serie geometriche e telescopiche sono però casi molto particolari. Quello che faremo nella prossima lezione è studiare dei criteri generali per stabilire quando e se una serie converge o meno.