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Proprietà dei logaritmi: dimostrazione di log a + log b = log ab

Richiamando la definizione di logaritmo e ragionando sulle proprietà delle potenze dimostriamo la prima proprietà dei logaritmi: log a + log b = log ab.

Ipotesi: esistenza di log A e log B (in base x)
Tesi: log A + log B = log AB (tutto in base x)

Dimostrazione:
Sappiamo che il logaritmo in base x di A è per definizione l'esponente da assegnare ad x per avere A, chiamiamolo l. Analogamente definiamo m il logaritmo in base x di B. Abbiamo perciò che x^l=A e x^m=B.

Applicando alle nostre due potenze in base x la proprietà del prodotto fra potenze di uguale base, uguale per definizione a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti, otteniamo che (x^l)(x^m) = AB = x^(l m).
Da ciò risulta che il prodotto AB è uguale x^(l m), il che vale a dire che il logaritmo in base x di AB è pari alla somma di l ed m, ossia alla somma dei due logaritmi iniziali e la tesi è cosi dimostrata.