Proprietà dei logaritmi: dimostrazioni

Dimostrazione delle due proprietà dei logaritmi:
1) C[log_x (A)]=log_x (A^C);
2) log A - log B = log (A/B).

Dimostrazione (1)
Tesi: C[log_x (A)]=log_x (A^C)
Dalla definizione di logaritmo se log_x (A) = B abbiamo che x^B=A. Elevando entrambi a C abbiamo allora che (x^B)^C=A^C, che è la potenza di una potenza, uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Dunque quanto sopra si può scrivere anche come x^(BC)=x^A. Allora log_x (A^C)=BC.

Riprendendo ora log_x (A) = B, moltiplichiamo da entrambe le parti per C e abbiamo che C[log_x (A)]=BC.

Unendo le conclusioni raggiunte: C[log_x (A)]=BC=log_x (A^C) da cui per proprietà transitiva C[log_x (A)]=log_x (A^C) che è la tesi.

Dimostrazione (2)
Tesi: log A - log B = log (A/B).
Dati log_x (A)=l , log_x (B)=m e log_x (A/B)=n, abbiamo dalla sola definizione di logaritmo che x^l=A, x^m=B, x^n=A/B. Possiamo quindi scrivere A/B=x^n=(x^l)/(x^m). Dalla proprietà del quoziente fra potenze di ugual base abbiamo che questo rapporto è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti, nel nostro caso quindi: x^n=x^(l-m).
Questo equivale a dire che n=l-m. Riportanso le lettere in logaritmi abbiamo così la tesi: log (A/B) = log A - log B.