Spesso, soprattutto nelle lezioni di scienze, si sente parlare di grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali. Ma che cosa significa che due quantità sono direttamente o inversamente proporzionali? Quello che vogliamo fare in questa lezione è spiegare il significato di queste due espressioni, dandone esempi specifici, nonché formule di risoluzione generale.
Iniziamo dalla proporzionalità diretta.
Consideriamo due grandezze: potrebbero essere qualsiasi cosa, dal peso di un recipiente e il volume che può contenere, al numero di isotopi di idrogeno presenti in un certo volume di aria e la temperatura di quel volume, sino al numero di alunni biondi in una classe e il numero di tutti gli alunni nella scuola. Per non entrare troppo nello specifico, chiamiamo queste due grandezze $A$ e $B$.
Si dice che le due grandezze $A$ e $B$ sono direttamente proporzionali, o sono in proporzionalità diretta tra loro, se esiste un numero $c$, detto costante di proporzionalità, che realizzi la formula$$ A = c \times B$$In altre parole, da questa formula possiamo ottenerne una equivalente, dividendo per $B$ entrambi i membri (il che si può fare solo se $B \neq 0$!):$$ \frac{A}{B} = c$$Quest’ultima formula può essere interpretata così: “due grandezze $A$ e $B$ sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto è costante”.
Facciamo un esempio di grandezze che sono in rapporto di proporzionalità diretta per riuscire a meglio comprendere questo concetto.
Andrea riceve un regalo una bicicletta e decide di provarla subito. Essendo un ragazzo molto diligente, segna su un foglio la distanza che percorre in bicicletta, e accanto il tempo che ci ha impiegato a percorrere quel tratto. Nei primi $5$ minuti, percorre $1500$ metri; si ferma un momento a riprendere fiato, poi riparte e fa $1800$ metri in $6$ minuti esatti. Decide di fare un ultimo sforzo, e percorre $2850$ metri in $9$ minuti e mezzo. A questo punto Andrea è soddisfatto, si riposa e prende un gelato; poi decide di tornare a casa, e percorre tutti i $6150$ metri che lo separano da casa in $20$ minuti e mezzo.
Se chiamiamo $s$ la distanza coperta in bicicletta da Andrea (in metri), e $t$ il tempo impiegato a percorrerla (in minuti), possiamo affermare che le grandezze $s$ e $t$ sono direttamente proporzionali: infatti, vale sempre$$ \frac{s}{t} = 300$$Riprendendo la definizione data prima, la costante di proporzionalità tra queste due grandezze è $300$. Se rappresentassimo le grandezze in una tabella, avremmo qualcosa di questo tipo:
| Spazio Percorso $s$ | Tempo Impiegato $t$ | Rapporto tra le due Grandezze |
| 1500 metri | 5 minuti | $\frac{1500}{5} = 300$ |
| 1800 metri | 6 minuti | $\frac{1800}{6} = 300$ |
| 2850 metri | 9.5 minuti | $\frac{2850}{9.5} = 300$ |
| 6150 metri | 20.5 minuti | $\frac{6150}{20.5} = 300$ |
La fisica ci insegna che il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo prende il nome di velocità.
Possiamo facilmente accorgerci se due quantità sono o meno direttamente proporzionali rappresentandole sul piano cartesiano. Disegniamo un piano cartesiano in cui i due assi rappresentano le due grandezze in questione: nel nostro caso, l’asse $x$ delle ascisse indicherà la lunghezza del tratto percorso, mentre l’asse $y$ delle ordinate rappresenterà il tempo impiegato da Andrea a percorrere quel tratto. Riportiamo quindi i valori ottenuti nella tabella precedente sul piano cartesiano:
Come si vede, per i quattro punti evidenziati passa una sola retta. Questo non è un caso, poiché grandezze direttamente proporzionali giacciono su una retta che passa per l’origine degli assi. La costante di proporzionalità tra le due grandezze rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Sussiste una fondamentale analogia tra grandezze direttamente proporzionali e le proporzioni. Infatti, se sappiamo che due grandezze $A$ e $B$ sono direttamente proporzionali, sappiamo che qualsiasi coppia di valori sta in un certo rapporto, o, appunto, in una certa proporzione. Supponiamo di avere due valori per la grandezza $A$, che chiamiamo $A_1$ e $A_2$, ai quali corrispondono due valori per la grandezza $B$, che chiamiamo $B_1$ e $B_2$. Se $A$ e $B$ sono direttamente proporzionali, i quattro valori soddisfano la proporzione$$ A_1 \ :\ B_1\ =\ A_2 \ :\ B_2 $$Grazie a questa proporzione e alle loro proprietà, sapendo che due grandezze sono tra loro direttamente proporzionali bastano tre valori qualunque per trovare il quarto, secondo il metodo generale di risoluzione delle proporzioni. Notiamo infine che, se due grandezze sono direttametne proporzionali, quando una cresce anche l'altra cresce, o viceversa, quando una diminuisce, l'altra diminuisce anch'essa.
Passiamo ora a definire quando due quantità sono inversamente proporzionali.
Come prima, chiameremo in modo generico le grandezze coinvolte $C$ e $D$, poiché questa definizione ha carattere generale. Non dobbiamo dimenticare però che potrebbero rappresentare qualunque cosa.
Date due grandezze $C$ e $D$, diciamo che queste sono inversamente proporzionali, o che sono in rapporto di proporzionalità inversa, se esiste un numero $e$, detto costante di proporzionalità, che renda vera la seguente formula:$$ C = e \times \frac{1}{D} $$Naturalmente la formula precedente ha senso solamente se $D \neq 0$! In questo caso, moltiplicando ambo i membri per $D$, si ottiene la formula equivalente$$ C \times D = e $$Possiamo quindi interpretare in questo modo il fatto che due grandezze siano inversamente proporzionali: “due grandezze $C$ e $D$ sono in rapporto di proporzionalità inversa se il loro prodotto rimane costante”.
Ora facciamo un esempio di due grandezze inversamente proporzionali che aiuterà sicuramente a capire di che cosa si tratta.
Uno scienziato decide di misurare che relazione sussiste tra la pressione a cui si trova un certo gas e il volume che questo occupa. Egli riempie un palloncino del gas in questione, mette al suo interno un barometro per misurarne la pressione, e lascia che il palloncino sia libero di espandersi all’interno di una camera in cui può misurarne il volume. Per evitare disturbi nelle misurazioni, manterrà la temperatura all’interno della camera costante.
Inizialmente, il palloncino occupa un volume di $20$ pollici cubi (un pollice lineare corrisponde a circa $2.54 \text{ cm}$, per cui un pollice cubo corrisponde a $16.387 \text{ cm}^3$ circa), e la pressione corrispondente misurata è di $177$ millimetri di mercurio. Comprimendo il palloncino sino al volume di $15$ pollici cubi, lo scienziato misura, sul barometro, una pressione di $236$ millimetri di mercurio. Lasciando espandere il palloncino sino a $30$ pollici cubi il barometro registra $118$ millimetri di mercurio; lasciano ulteriormente espandere sino a $40$ pollici cubi, la pressione misurata risulta di $88.5$ millimetri di mercurio.
Se chiamiamo $V$ il volume occupato dal palloncino e $p$ la pressione corrispondente misurata, otteniamo la seguente tabella:
| Volume $V$ | Pressione $p$ | Prodotto tra le due grandezze |
| 15 pollici cubi | 236 mmHg | $15 \times 236 = 3540$ |
| 20 pollici cubi | 177 mmHg | $20 \times 177 = 3540$ |
| 30 pollici cubi | 118 mmHg | $30 \times 118 = 3540$ |
| 40 pollici cubi | 88.5 mmHg | $40 \times 88.5 = 3540$ |
Come si vede, il prodotto delle due grandezze è sempre lo stesso, in qualunque caso: $V \times p = 3540$. Dobbiamo quindi concludere che le due grandezze considerate sono tra loro inversamente proporzionali. Lo scienziato era Robert Boyle, che eseguì un esperimento simile nel 1662 ed arrivò a formulare la sua famosa legge. Proprio come fece Boyle, riportiamo i valori ottenuti nella tabella su un piano cartesiano, in cui le ascisse rappresentano il volume $V$ e le ordinate la pressione $p$:
Come si vede dall’illustrazione, tutti i punti indicati stanno su di un’unica curva, dalla forma molto particolare: si tratta di un ramo di iperbole equilatera. Questo accade in generale: se, rappresentando due grandezze in un piano cartesiano, ci accorgiamo che esse stanno su di un ramo di iperbole equilatera, esse saranno in rapporto di proporzionalità inversa.
Come nel caso della proporzionalità diretta, anche con grandezze in proporzionalità inversa si possono costruire delle proporzioni. Supponiamo di avere due grandezze, $C$ e $D$, inversamente proporzionali. Prendiamo due valori di $C$, $C_1$ e $C_2$, cui corrispondono due valori di $D$, rispettivamente $D_1$ e $D_2$. Allora vale la seguente proporzione:$$ C_1 \ : \ C_2 \ = \ D_1 \ : \ D_2$$Anche in questo caso, la conoscenza di tre valori qualsiasi porta alla risoluzione della proporzione. Notiamo infine che in presenza di due grandezze leagte dal rapporto di proporzionalità inversa, mentre l'una cresce l'altra diminuisce, e viceversa se l'una diminuisce l'atra cresce.