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Logaritmi: formula della proprietà del cambiamento di base

Dimostrazione della proprietà del cambiamento di base dei logaritmi: log_A (B) = (log_x (B))/(log_x (A))

Per molte applicazioni matematiche può essere necessario o comodo cambiare la base di un logaritmo, o meglio poter ricondurre un logaritmo dato ad un'espressione logaritmica equivalente ma con altra base.
La relazione che consente questo passaggio è la seguente:
log_A (B) = (log_x (B))/(log_x (A))
Dove la notazione log_A (B) significa "logaritmo in base A di B", e analoghe.

Questa formula è dimostrabile grazie alla sola definizione di logaritmo.
Sappiamo infatti che se x^n=A allora log_x (A) = n. Ciò implica che n può essere scritto come log_x (A) e dunque che x^ [log_x (A)] = A.
Elevando entrambi i termini di quest'ultima uguaglianza ad [1/log_x (A)] otteniamo che x= A^[1/log_x (A)].
Un analogo ragionamento si può applicare al log_x (B) e arriviamo così all'identità A^[1/log_x (A)] = x = B^[1/log_x (B)], quindi A^[1/log_x (A)] B^[1/log_x (B)] per proprietà transitiva.
Eleviamo a questo punto da entrambe le parti dell'uguale a: log_x (B). Otteniamo che A^[log_x (B)/log_x (A)]=B ovvero che log_A (B)=[log_x (B)/log_x (A)], che è la tesi.