Il calore specifico e la capacità termica: calore e temperatura

Abbiamo illustrato che un cambiamento nella temperatura di un corpo è sempre legato ad uno scambio di calore. Analizziamo ora più a fondo questo legame.

Effettuando vari esperimenti si verificano le seguenti proprietà:

• A parità di massa $m$, la quantità di calore $\mathcal{Q}$ scambiata risulta direttamente proporzionale al salto termico $\Delta T$.
• A parità di calore scambiato $\mathcal{Q}$, la variazione di temperatura $\Delta T$ risulta inversamente proporzionale alla massa $m$ del corpo in cui si verifica.
• A parità di salto termico $\Delta T$, la quantità di calore da scambiare $\mathcal Q$ risulta direttamente proporzionale alla massa $m$ del corpo in cui si verifica detto salto termico.

Queste considerazioni si possono riassumere nella seguente formula: $$ \mathcal Q = c \ m \ \Delta T $$Il coefficiente $c$ si dice calore specifico, ed è proprio di ciascuna sostanza. La quantità $c \ m = C$ si dice invece capacità termica, ed è propria di ciascun corpo. Il calore specifico $c$ è la quantità di calore necessaria da fornire per modificare la temperatura di un’unità di massa di una certa sostanza, mentre la capacità termica $C$ è la quantità di calore necessaria da scambiare per causare la medesima variazione di temperatura ma in tutto il corpo considerato, non per unità di massa.

Come si può evincere dall’equazione che lo definisce, il calore specifico ha unità di misura, nel Sistema Internazionale, in $\text{J} / \text{kg } \text{K} = \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$, cioè joule al chilo per kelvin, mentre la capacità termica in $\text{J} / \text{K}$. Un’altra unità di misura del calore specifico è $\frac{\text{cal}}{\text{g} \ ^\circ \text{C}}$, legata alla caloria. Il calore specifico quindi misura la quantità di joule di calore che è necessario fornire per far incrementare di un grado kelvin la temperatura un chilogrammo di sostanza, o quante calorie è necessario apportare per incrementare di un grado kelvin la temperatura di un grammo di sostanza. Di seguito viene riportata una tabella con alcuni valori del calore specifico per alcune sostanze:

Si noti in particolare il valore del calore specifico dell’acqua a $15^\circ \text{ C}$: questo è dovuto alla definizione di caloria, che è esattamente la quantità di calore che è necessario fornire per innalzare di un grado (da $14,5^\circ \text{ C}$ a $15,5^\circ \text{ C}$) la temperatura di un grammo di acqua.

Si deve segnalare che il calore specifico dipende fortemente dalle condizioni termodinamiche nelle quali viene misurato: i valori della precedente tabella sono calcolati a in condizioni standard, ossia alla pressione di $1 \text{ atm}$ e alla temperatura di $25^\circ\text{C}$, a meno che non sia indicato altrimenti, e sono comunque dei valori medi. In effetti, per misurare il calore specifico occorre effettuare una scambio di calore, a seguito del quale lo stato termodinamico del corpo o della sostanza viene modificato. A seconda della trasformazione termodinamica seguita per il trasferimento di calore, quindi, si hanno differenti calori specifici: si distingue infatti tra calore specifico a pressione costante $c_p$ e calore specifico a volume costante $c_v$.

È possibile definire il calore per quantità di materia, al posto che per quantità di massa: si parla così di calore specifico molare o semplicemente di calore molare: si tratta della quantità di calore che è necessario fornire per incrementare di un grado kelvin la temperatura di una mole di una determinata sostanza. Questi valori si utilizzano spesso quando si ha a che fare con i gas perfetti, definiti da particolari leggi termodinamiche. Allo stesso modo è possibile definire la capacità termica molare, ossia la capacità termica di una certa quantità della sostanza presa in considerazione.

Per i gas perfetti, calori specifici e capacità termiche sono legati alla costante dei gas perfetti $R$ dalla relazione di Mayer: per $n$ moli di gas, valgono le equazioni $$ c_p = c_v + R; \quad C_p = C_v + n \ R $$

Si può calcolare il calore specifico molare a volume costante di un gas perfetto monoatomico sfruttando il modello cinetico dei gas.

Per il modello cinetico dei gas, ogni molecola di gas possiede un’energia cinetica $E_c$ pari a $\frac{3}{2} k T$, dove $k = \frac{R}{N_A}$ è la costante di Boltzmann e $T$ è la temperatura assoluta. Considerando una mole di gas perfetto monoatomico, contenente cioè $N_A$ atomi: l’energia cinetica complessiva sarà $N_A \cdot E_c = N_A \cdot \frac{3}{2} k T = $ $ \frac{3}{2} R T $. Pensiamo ora di apportare una trasformazione termodinamica in assenza di lavoro meccanico, quindi a pressione costante: l’unico effetto di questa trasformazione, per il primo principio della termodinamica, sarà un incremento di energia interna $\Delta \mathcal{U}$, a fronte di un calore scambiato $\mathcal{Q}$. Sempre secondo il modello cinetico dei gas, possiamo interpretare l’incremento di energia interna come un incremento di energia cinetica posseduta dagli atomi, pari quindi, per la relazione appena ricavata, a $\frac{3}{2} R \Delta T$; dalla definizione di calore specifico molare, inoltre, ricaviamo che $\mathcal{Q} = c_v \Delta T $. Mettendo insieme queste considerazioni, otteniamo che $$ \mathcal{Q} = \Delta \mathcal{U} \Rightarrow c_v \Delta T = \frac{3}{2} R T \Rightarrow c_v = \frac{3}{2} R $$

Con ragionamenti simili, tramite la realzione di Mayer e sempre tenendo presente il primo principio della termodinamica, si può ricostruire la seguente tabella:

Ad ogni modo, il calore specifico rimane una quantità che dipende dalla temperatura alla quale viene misurato. Tuttavia, per una certa quantità di sostanze, specialmente per i gas nobili monoatomici, il valore dei calori specifici varia di poco al variare della temperatura, tanto da potersi considerare costanti.