Le proporzioni godono di svariate proprietà, la cui scoperta derivò sia da casi concreti che da ragionamenti astratti. Lo studio di queste proprietà, note sin dall’altichità, contribuì allo sviluppo dell’algebra come la conosciamo oggi, in particolar modo per lo studio e la risoluzione di equazioni. Le proprietà delle proporzioni sono le seguenti:
- Proprietà fondamentale
- Proprietà dell’invertire
- Proprietà del permutare
- Proprietà del comporre
- Proprietà dello scomporre
- Proprietà del comporre e dello scomporre
- Unicità del quarto proporzionale
Vediamo di conoscerle tutte un po’ più da vicino.
Per prima cosa, occorre enunciare quella che va sotto il nome di proprietà fondamentale delle proporzioni. Supponiamo di avere la proporzione $ A : B = C : D $; allora questa proporzione è valida se e solo se vale la seguente formula:$$ B \times C = A \times D $$Si può anche enunciare la proprietà fondamentale in questo modo: “in una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi”. La validità di questa proprietà è presto dimostrata se si ricorre al calcolo letterale: siccome $A : B = C : D$ vuol dire in realtà $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$, moltiplicando ambo i membri per $BD$ (il che possiamo fare dal momento che, essendo in una proporzione, $B$ e $D$ sono sicuramente diversi da zero), e successivamente semplificando le frazioni, otteniamo appunto $AD = BC$.
Successivamente possiamo enunciare la proprietà dell’invertire: essa ci permette di dire che, se vale $A : B = C : D$, allora vale anche$$ B : A = D : C $$Come si vede, i termini prima e dopo il segno uguale si sono scambiati di posto, invertendo ogni antecedente con il proprio conseguente, da cui appunto il nome di “proprietà dell’invertire”. Questa proprietà segue dal fatto che, se due quantità non nulle sono uguali, lo sono anche i loro reciproci: sfruttando questo, dalla proporzione $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ segue facilmente che $\frac{B}{A} = \frac{D}{C}$, infatti $\frac{B}{A}$ è il reciproco di $\frac{A}{B}$, così come $\frac{D}{C}$ è il reciproco di $\frac{C}{D}$.
Un’altra delle proprietà delle proporzioni è la proprietà del permutare. Questa si può enunciare così: in una proporzione, si possono permutare (cioé scambiare) tra loro i medi o gli estremi, ottenendo un’altra proporzione. Con una formula, se vale la proporzione $A : B = C : D$, valgono altre due proporzioni:$$ D : B = C : A \qquad A : C = B : D $$Questa proprietà si dimostra ancora una volta ricorrendo all’algebra. Ricordiamo che, infatti, una proporzione è un’uguaglianza tra due frazioni equivalenti, $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$: moltiplicando ambo i membri per $\frac{D}{A}$ otteniamo, dopo aver semplificato, la proporzione $\frac{D}{B} = \frac{C}{A}$, mentre moltiplicando entrambi i membri per $\frac{B}{C}$ si ottiene la seconda proporzione della prorpità del permutare, $\frac{A}{C} = \frac{B}{D}$. Facciamo notare che, applicando due volte la proprietà del permutare, scambiando cioè sia medi sia estremi, si giunge a $D : C = B : A$ , che è la proporzione che si ottiene dalla proprietà dell’invertire.
Enunciamo ora la proprietà del comporre: data una proporzione, la somma tra il primo e il secondo termine sta al primo termine come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo termine, oppure anche la somma del primo e del secondo termine sta al secondo termine come la somma del terzo e del quarto temine sta al quarto termine. In formule, dalla proporzione $A : B = C : D $ seguono le altre due proporzioni$$ (A + B) : A = (C + D) : C \qquad (A + B) : B = (C + D) : D$$Questa proprietà è un po’ più complicata da dimostrare delle altre, e la dimostrazione si basa sul fatto che aggiungendo a due quantità uguali una stessa quantità, si ottengono ancora due quantità uguali. Si procede in questo modo. Sappiamo che vale $A : B = C : D$; usando la proprietà dell’invertire, otteniamo $B : A = D : C$, cioè $\frac{B}{A} = \frac{D}{C}$. Ora aggiungiamo ad entrambi i membri $1$: otteniamo $\frac{B}{A} + 1 = \frac{D}{C} + 1 $; ma questo $1$ lo scriviamo in un modo un po’ particolare: a sinistra lo scriviamo come $\frac{A}{A}$, a destra come $\frac{C}{C}$, ottenendo così l’uguaglianza $\frac{B}{A} + \frac{A}{A} = \frac{D}{C} + \frac{C}{C}$. Ora sommiamo le frazioni algebriche, ottenendo $\frac{B + A}{A} = \frac{D + C}{C}$. Riscriviamo questa uguaglianza come proporzione: $ (B + A) : A = (D + C) : C $, che è proprio la prima formula della proprietà del comporre. La validità della seconda si dimostra in modo del tutto analogo, senza usare la proprietà dell’invertire e scrivendo $1$ una volta come $\frac{B}{B}$ e l’altra come $\frac{D}{D}$.
Così come possiamo opportunamente sommare i membri di una proporzione, possiamo anche sottrarli usando la proprietà dello scomporre: essa asserisce che, data una proporzione, la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo termine come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo termine, oppure che la differenza tra il primo e il secondo termine sta al secondo termine come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al quarto termine. Questo equivale alle seguenti formule: data la proporzione $A : B = C : D$, otteniamo$$ (A - B) : A = (C - D) : C \qquad (A - B) : B = (C - D) : D $$La dimostrazione di questa proprietà è del tutto analoga a quella della proprietà del comporre, e si procede in modo del tutto analogo, ricordando però che, se due quantità sono uguali, lo sono anche i loro opposti. Ad esempio, per mostrare la seconda possiamo procedere così: scriviamo la proporzione sotto forma di frazioni e sottraiamo ad ambo i membri $1$, cioè avremo $\frac{A}{B} - 1 = \frac{C}{D} - 1$; ora scriviamo gli $1$ come $\frac{B}{B}$ e $\frac{D}{D}$, e otteniamo $\frac{A}{B} - \frac{B}{B}= \frac{C}{D} - \frac{D}{D}$. Sommando le frazioni algebriche, otteniamo $\frac{A - B}{B} = \frac{C - D}{D}$, o, se vogliamo, $ (A - B) : B = (C - D) : D $.
Le proprietà del comporre e dello scomporre possono essere combinate in una, detta proprietà del comporre e dello scomporre, che asserisce la validità della seguente formula: se abbiamo la proporzione $ A : B = C : D$, allora$$ (A + B) : (A - B) = (C + D) : (C - D) $$Detto a parole, la somma dei primi due termini sta alla loro differenza come la somma del terzo e quarto termine sta alla loro differenza. La dimostrazione di questa proprietà passa dal calcolo letterale, e per comprenderla appieno serve anche sapere come raccogliere a fattore comune all’interno di un polinomio. Iniziamo dalla proprietà fondamentale, che dice che $AD = BC$. Moltiplichiamo entrambi i membri per due: otteniamo $2 AD = 2 BC$, ossia $AD + AD = BC + BC$, che vuol dire $AD - BC = BC - AD$. Ora aggiungiamo ad entrambi i membri il polinomio $AC - BD$, così da ottenere l’uguaglianza $AD - BC + AC - BD = BC - AD + AC - BD $; effettuiamo prima un raccoglimento parziale, prestando molta attenzione ai segni: $A (D + C) - B (C + D) = A (C - D) + B (C - D)$. Da qui effettuiamo un ulteriore raccoglimento, ottenendo $(A - B) (C + D) = (A + B) (C - D)$, cioè $(A + B)(C - D) = (A - B)(C + D)$. Ma questa è l’uguaglianza che si ottiene applicando la proprietà fondamentale proprio alla proporzione $(A - B) : (A + B) = (C - D) : (C + D)$! La proprietà è stata quindi dimostrata.
Infine, sussiste un’ultima proprietà delle proporzioni, che è forse in realtà la più importante. Si chiama unicità del quarto proporzionale, e garantisce, essenzialmente, l’unicità delle soluzioni delle equazioni di primo grado in un’incognita. Questa proprietà recita così: supponiamo di avere due proporzioni, in cui tre dei quattro membri sono sempre gli stessi; allora anche il quarto membro è anch’esso sempre lo stesso. Ci sono quattro formule per enunciare questa proprietà, una per ogni possibile scelta della posizione in cui mettere il quarto membro mancante. Ma grazie a tutte le proprietà precedenti, è sufficiente illustrarne una, poiché tutte le altre si ottengono da questa usando le proprietà succitate. La formula è$$ \text{Se valgono } A : B = C : X \text{ e } A : B = C : Y, \text{ allora è } X = Y$$
L’insieme di tutto questo armamentario è necessario per affrontare correttamente i problemi risolubili con le proporzioni, nonché è assai utile per alcune dimostrazioni di geometria euclidea, come il teorema delle corde o il teorema di talete.