Alcune famiglie di rette aventi caratterisiche simili possono essere raggruppate e descritte da una singola equazione: quella del fascio di rette. In particolare esistono due fasci di rette.
- Il fascio di rette improprio, costituito da tutte le rette parallele ad una retta data, di coefficiente angolare $\overline{m}$. L’equazione del fascio, in forma esplicita, è data da $$ y = \overline{m}x + q $$In questa equazione, $\overline{m}$ è fisso, mentre il parametro variabile è $q$. Per i fasci di rette verticali, dato che una retta veritcale non può essere scritta in forma $y = \dots$, il fascio è descritto dall’equazione $$ x = k $$In questo caso, è il parametro $k$ ad essere variabile.
- Il fascio di rette proprio, costituito da tutte le rette passanti per un punto fissato, detto centro del fascio. Se il centro del fascio ha coordinate $(x_0; y_0)$, l’equazione che rappresenta il fascio è data da$$ y -y_0 = m \left( x - x_0 \right)$$In questa equazione, il coefficiente angolare $m$ è un parametro variabile, e mediante essa è possibile descrivere tutte le rette passanti per il centro, tranne la retta verticale (avente equazione $x = x_0$).
Infine, date due rette generiche $r$ ed $s$, di equazione (in forma implicita) $r: ax + by + c = 0$ e $s: a’x + b’y + c’ = 0$, possiamo considerare il fascio di rette generato da $r$ ed $s$: prendendo un parametro reale $k$, pensato come variabile, il fascio di rette generato da $r$ ed $s$ è dato dall’equazione$$ ax + by + c + k (a’x + b’y + c’ ) = 0$$A seconda della posizione reciproca delle generatrici, il fascio così costruito può essere proprio o improprio: se $r$ ed $s$ sono incidenti sarà proprio, mentre se sono parallele sarà improprio. In seguito vedremo come sfruttare queste definizione per meglio risolvere gli esercizi.