Esercizio svolto sulle disequazioni razionali

Esercizio "spinoso" sulle disequazioni razionali, due metodi risolutivi.

Esercizio: (x - 1)/ (x 2) > 0

I metodo risolutivo:
Ragioniamo sull'idea che perchè una frazione sia maggiore di zero, è necessario che numeratore e denumeratore siano concordi, ossia o entrami maggiori di zero, o entrambi minori di zero.
Poniamo quindi, per il primo caso: x-1>0, che significa x>1, e x 2>0, ossia x>-2. A garantire entrambe le condizioni è sufficiente x>1 che è quindi la nostra prima soluzione.
Per il secondo caso vogliamo invece: x-1La soluzione complessiva della iseguaglianza è perciò data dai due intervalli x>1 oppure x
II metodo risolutivo:
Proviamo ora invece a liberarci del denumeratore. Puntiamo quindi a moltiplicare da entrambi i lati della diseguaglianza per x 2 in modo da annullare con il prodotto nella parte a destra del segno di diseguaglianza, dove compare lo 0.
Per farlo, però, dobbiamo ricordarci che le disequazioni cambiano segno se si moltiplica per numeri negativi e che, nel nostro caso, questo comporta la distinzioni di due casistiche a seconda che il fattore moltiplicativo x 2, contenente un'incognita, sia numero positivo o negativo.

Procediamo, quindi, per i due casi:
- se x 2>0, ossia x>-2, moltiplichiamo senza cambiare segno alla diseguaglianza e otteniamo x-1>0, quindi x>1. Per x>-2 i valori che risolvono la nostra diseguaglianza sono quindi quelli di x>1.
- se x 2Notiamo che anche questo metodo risolutivo ci porta alla soluzione complessiva: x>1 oppure x