Un’equazione differenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione matematica di cui, nell’equazione stessa, compaiono le derivate.
Se la funzione incognita è una funzione reale di una variabile reale, l’equazione di dice equazione differenziale ordinaria. Non è detto che la derivata che compare debba essere la derivata prima: il massimo ordine di derivata che compare nell’equazione si dice ordine dell’equazione differenziale.
Una notazione molto diffusa è la seguente: al posto di indicare le derivate della funzione incognita come $f’(x)$, $f’’(x)$ o $\frac{d f}{d x}$, $\frac{d^2 f}{dx^2}$ eccetera, dal momento che, solitamente, $y = f(x)$, si preferisce scrivere $y’$ per la derivata prima, $y’’$ per la derivata seconda, e via di conseguenza.
Purtroppo non esiste una formula risolutiva per tutte le equazioni differenziali: per questo motivo è fondamentale saper distinguere le varie tipologie, dal momento che ciascuna ha un metodo di risoluzione particolare. Nelle prossime lezioni impareremo a riconoscerle: partiremo dalle equazioni di primo ordine, che dividiamo in “elementari”, “a variabili separabili” e “lineari”, per poi approdare a quelle di second’ordine, lineari omogenee o non omogenee.