Derivata seconda, concavità e punto di flesso di una funzione: esempi ed esercizi svolti

Lo studio di funzione si conclude con la descrizione delle concavità della curva. Come viene mostrato in questo video, tale passaggio si ottiene calcolando la derivata seconda e studiandone il segno, ovvero stabilendo in quali intervalli assume valori positivi e in quali negativi.

In questo modo si definiscono gli intervalli in cui la concavità della funzione è rivolta rispettivamente verso l'alto o verso il basso. Se la concavità è rivolta verso l'alto, il grafico della funzione si trova sempre al di sopra della retta tangente, mentre quando la concavità è rivolta verso il basso il grafico è situato sotto la retta tangente.

I punti in cui la curva passa attraverso la retta tangente sono i punti di flesso. Nei punti di flesso, la derivata seconda è nulla. Per trovarli si può porre la derivata seconda uguale a zero. Attenzione però: la condizione è solo necessaria, non sufficiente: se la derivata seconda è nulla non è detto che siamo in presenza di un punto di flesso; se però la derivata terza è diversa da zero, siamo sicuri che si tratti di un punto di flesso.

Il video si conclude con un semplice esercizio svolto.