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Criteri di convergenza delle serie: criterio del rapporto

In questa lezione vediamo alcune proprietà utili delle serie numeriche, per poi enunciare uno dei vari criteri che servono a stabilire il carattere di una serie: il criterio del rapporto.

Innanzitutto ricordiamo una proprietà fondamentale delle serie. Sia data la serie $\sum a_n$, di termine generale $a_n$, e sia $\{a_n\}$ una successione definitivamente non negativa, cioè, da un certo punto in poi, sia $a_n \geq 0$. Allora la serie $\sum a_n$ o converge o diverge a $+\infty$: non è possibile che diverga a $- \infty$ o che sia indeterminata.

Grazie a questo, possiamo stabilire alcuni criteri che servono a determinare il carattere di una serie: in questo video ci occupiamo del criterio del rapporto, mentre nei prossimi trattare il criterio della radice e il criterio del confronto asintotico.

Il criterio del rapporto stabilisce quanto segue. Sia $a_n > 0$ definitivamente, ed esista il limite $ l = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$, cioè il rapporto di due termini successivi. Allora la serie $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_n$:

  1. Converge se $l < 1$
  2. Diverge se $ l > 1$

Se $ l =1$ il criterio non conclude nulla: non si può dire che la serie converge o diverge.