In questa lezione ci occupiamo dell’ultimo criterio di convergenza per determinare il carattere di una serie numerica: il criterio del confronto asintotico.
Ricordiamo che due successioni numeriche$\{ a_n \}$ e $\{ b_n \}$ definitivamente diverse da zero (cioè che, almeno da un certo punto in poi, vale $a_n \neq 0$ e $b_n \neq 0$) si dice che $a_n$ è asintotica a $b_n$, e si scrive $a_n \sim b_{n}$, se il limite del loro rapporto è $1$, ossia$$ a_n \sim b_n \ \text{ se } \ \lim \frac{a_n}{b_n} = 1$$Ciò detto, consideriamo due successioni $\{ a_n \}$ e $\{ b_n \}$ definitivamente non negative (cioè $\geq 0$) e tra di loro asintotiche: $ a_n \sim b_n $. Allora possiamo dire che le due serie corrispondenti, cioè $\sum a_n$ e $\sum b_n$, hanno il medesimo carattere: entrambe o convergono o divergono. Questo criterio si dice appunto criterio del confronto asintotico, ed è estremamente utile quando conosciamo già il comportamento di una delle due serie, o se riusciamo a ridurre il termine generale di una serie di cui non sappiamo il comportamento a quello di una serie che sappiamo convergere o divergere; a differenza del criterio del rapporto o del criterio della radice, tuttavia, richiede la presenza di due serie.
Nelle prossime lezioni impareremo ad usare tutto questo armamentario per risolvere alcuni esercizi sulle serie.