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I poligoni regolari: area, apotema e perimetro

All’interno dell’insieme dei poligoni, particolare importanza ha la categoria dei poligoni regolari. Questi poligoni sono particolarmente semplici da studiare; la loro struttura è completamente determinata dal numero di lati che essi hanno, e dalla misura di uno (e cioè, di ciascuno) di essi.

 

Definizione

Un poligono con $n$ lati è detto poligono regolare se è equiangolo ed equilatero, ovvero, se tutti i suoi angoli interni sono congruenti e se tutti i suoi lati sono congruenti.
Dato che tutte le misure dei suoi lati sono uguali, ci riferiremo solo al “lato” del poligono (e lo indicheremo con $l$).

Tra i poligoni regolari più comuni, troviamo il triangolo equilatero e il quadrato. Nei problemi di geometria (ma anche nella vita quotidiana) troviamo spesso anche le forme del pentagono regolare, dell’esagono regolare e dell’ottagono regolare.

Ciascun poligono regolare ammette una circonferenza circoscritta e una circonferenza inscritta, che hanno il medesimo centro: questo punto viene spesso chiamato centro del poligono regolare.

 

Definizione

Il raggio della circonferenza inscritta a un poligono regolare è detto anche apotema del poligono. In genere viene indicato con la lettera $a$. Pertanto, l’apotema è un segmento perpendicolare a un lato del poligono, che ha come estremo il centro del poligono stesso. 
Il rapporto $$f = \frac{a}{l}$$ dove $l$ è il lato del poligono, è chiamato numero fisso del poligono regolare, e dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.

A partire dal numero fisso per un poligono di $n$ lati, si può ricavare un’altra costante chiamata costante d’area: $$\varphi := \frac{nf}{2}$$ Anch’essa dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.
Come si può vedere nel formulario riportato più in basso, la costante d’area serve a esprimere l’area del poligono in termini del solo lato.

Riportiamo in una tabella il valore dei numeri fissi e delle costanti d’area per i poligoni regolari con meno di 10 lati:

Numero di lati Numero fisso $f$ Costante d'area $\varphi$
3 0.28867 0.43301
4 0.5 1
5 0.68819 1.72047
6 0.86602 2.59807
7 1.03826 3.63391
8 1.20710 4.82842
9 1.37373 6.18182
10 1.53884 7.69420


 

Formule per un poligono regolare

Esistono molte formule che si possono applicare a un qualsiasi poligono regolare di $n$ lati per ricavare alcune grandezze a esso relative. Se il lato del poligono misura $l$, abbiamo:

Perimetro: $2p = n \cdot l$.

Area: abbiamo a disposizione alcune formule, a seconda di cosa conosciamo; per esempio:

$$ A = \frac{1}{2}nla = \frac{1}{2} 2p \cdot a = l^2 \cdot \varphi $$ oppure, utilizzando le funzioni trigonometriche: $$A =\frac{1}{4}nl^2 \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) = n a^2 \tan \left (\frac{\pi}{n} \right ).$$

Angoli interni: dato che la somma degli angoli interni in un poligono di $n$ lati è pari a $\pi(n-2)$ radianti, o $180(n-2)$ gradi, allora ciascun angolo interno misura $\frac{\pi}{n}(n-2)$ radianti, o $\frac{180}{n}(n-2)$ gradi.

Aggiungiamo che, conoscendo il valore del numero fisso $f$ è possibile ricavare la misura dell’apotema a partire dal lato del poligono, e viceversa (utilizzando “all’inverso” la definizione di numero fisso).

 

Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino