La proprietà commutativa è sicuramente una tra le proprietà più utilizzate in aritmetica; probabilmente, però, è anche una delle proprietà che passa più inosservata, dato che siamo molto abituati a usufruirne. È quindi importante rendersi conto di quanto questa proprietà ci semplifichi la vita nello svolgere i conti, quando è possibile utilizzarla.
La proprietà commutativa vale solo per due delle quattro operazioni di base: addizione e moltilpicazione. Ricordiamo che possiamo definire altre proprietà per le quattro operazioni: le proprietà invariantiva, distributiva, associativa e dissociativa.
Proprietà commutativa dell’addizione: Se in un’addizione cambiamo l’ordine degli addendi il risultato non cambia.
Vediamo questa proprietà con un esempio. Consideriamo l’addizione $4 + 52$: il risultato è $56$. Anche l’addizione $52 + 4$, ottenuta scambiando l’ordine degli addendi, ha risultato $56$.
Prendiamo un esempio leggermente più complesso:$$23 + 2 + 19$$Grazie alla proprietà associativa dell’addizione possiamo scegliere di sommare prima $23$ e $2$, ottenendo $25$; infine $25 + 19 = 44$. Si può verificare abbastanza facilmente che le seguenti addizioni, ottenute scambiando l’ordine gli addendi in tutti i modi possibili, hanno sempre $44$ come somma: ##KATEX##\begin{aligned} & 2 + 23 + 19, \qquad 23 + 19 + 2, \qquad 2 + 19 + 23 \\ & 19 + 23 + 2, \qquad 19 + 2 + 23. \end{aligned}##KATEX##
Proprietà commutativa della moltiplicazione: Se in un prodotto cambiamo l’ordine dei fattori il risultato non cambia.
Anche qui, partiamo subito con un esempio: la moltiplicazione $31 \cdot 21$ ha come risultato $651$, così come la moltiplicazione $21 \cdot 31$ (come si può verificare svolgendo entrambe le operazioni in colonna). Sulla falsariga di quanto fatto per l’addizione, possiamo considerare il prodotto $6 \cdot 43 \cdot 5$: in qualunque ordine decidiamo di scrivere i tre fattori $6$, $43$, $5$ il risultato non cambierà, e sarà sempre $1290$.
La proprietà commutativa è estremamente utile per svolgere alcuni conti in maniera intelligente. Per esempio, consideriamo la seguente addizione:$$119 + 32 + 1 + 3 + 27 + 18$$Se svolgessimo tutte le somme in fila sicuramente arriveremmo al risultato, ma ci metteremmo probabilmente un bel po’ di tempo. Per risparmiare fatica, possiamo cambiare l’ordine degli addendi in questo modo:$$119 + 1 + 32 + 18 + 3 + 27$$Tenendo presente la proprietà associativa dell’addizione otteniamo: $$(119 + 1) + (32 + 18) + (3 + 27) = 120 + 50 + 30 = 200$$Facciamo un altro esempio. Consideriamo la moltiplicazione $$2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 25$$Anche qui potremmo svolgere tutte le moltiplicazioni in fila, ma è molto più conveniente riordinare i fattori così: $$2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 25 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 25) = 10 \cdot 100 = 1000$$
È importante sottolineare che, invece, sottrazione e divisione non godono della proprietà commutativa: basta considerare una qualsiasi sottrazione o divisione tra numeri interi $a$ e $b$, con $a \neq b$, per accorgersi che i risultati sono completamente differenti. A titolo di esempio, svolgiamo le seguenti operazioni: ##KATEX##\begin{aligned} & 12 - 4 = 8, \qquad 4 - 12 = -8 \\ & 12 : 4 = 3, \qquad 3 : 12 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \end{aligned}##KATEX##
Come abbiamo fatto per la proprietà associativa, è possibile definire la proprietà commutativa per una operazione qualsiasi.
Definizione
Consideriamo un’operazione binaria $\star$ definita su un insieme $S$. Diciamo che $\star$ gode della proprietà commutativa se $$x \star y = y \star x$$per ogni scelta di $x, y \in S$.
Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono della proprietà commutativa, come abbiamo visto. Oltre a queste ci sono anche:
Ci sono anche moltissime operazioni non commutative oltre a sottrazione e divisione, come per esempio: