Verifica su equazioni e disequazioni parametriche di primo e secondo grado

Quali delle seguenti espressioni sono equazioni letterali di primo grado in $x$?

Se il parametro $a$ è sempre minore di $0$, la disequazione $$ ax > 1 + (a-1)(a+1) $$è verificata se, e solo se, $x<a$.

Si consideri la seguente disequazione letterale di primo grado:$$ t(x-s) - s^2 < 2tx - (x + s^2) $$Di seguito sono elencate delle possibili soluzioni di questa disequazione. A ciascuna di esse, associare le condizioni sui parametri $s$ e $t$ che la rende la soluzione della disequazione considerata.

Si consideri l’equazione letterale di secondo grado$$ ax^2 + bx + c = 0 $$Di seguito sono elencate alcune condizioni sui parametri $a$, $b$ e $c$: associare a ciascuna di esse la conseguenza che sortisce sulle radici dell’equazione considerata.

Determinare i valori interi del parametro $k$ per i quali la frazione algebrica$$ \frac{x^2 - 2kx + 2k -1}{x^2 -4x +3} $$si può semplificare in $$ \frac{x-5}{x-3}$$Indicare ciascun valore in cifra (per esempio, “5” e non “cinque”); se sono presenti più di un valore, separare ciascun valore con una virgola (ad esempio, “2, 4”); se vanno bene tutti i numeri interi, scrivere “qualsiasi”; se non sono ammissibili valori del parametro, scrivere “nessuno”.

Siano $x_1$, $x_2$ le soluzioni dell’equazione di secondo grado$$ x^2 - 2(a-1)x + a^2 -1 = 0$$Determinare i valori del parametro $a$ che rendono vere le seguenti condizioni sulle soluzioni dell’equazione considerata.

Sia $z < 0$ un parametro. Selezionare tra le seguenti la forma corretta della soluzione della disequazione letterale di secondo grado$$ zx^2 - 2zx +z +1 < 0 $$

La disequazione $(1-a) x^2 + 4 > 0$ è sempre verificata quando $|a| < \frac{5}{4}$, ossia per $ -\frac{5}{4} < a < \frac{5}{4} $.

Per quali valori del parametro $c$ la soluzione della disequazione$$ x^2 + 2x \frac{3-c}{c+1} > \frac{3c - 5}{c+1} $$deve essere scritta come unione di più di un intervallo reale.