Verifica su equazioni e disequazioni letterali fratte e irrazionali

Di seguito sono elencati i passi da seguire per risolvere un’equazione parametrica: abbinare a ciascuno di essi l’ordine in cui deve essere svolto.

Si consideri l’equazione parametrica$$ \frac{a^4}{2x^2 -a^2} +2x^2 = \frac{4}{2-a^2} -a^2$$Quali delle seguenti espressioni è sempre soluzione di questa equazione, ovunque sia definita?

Come si chiamano quelle condizioni che vanno poste affinché la soluzione di un’equazione letterale abbia significato?

Si consideri la disequazione letterale fratta$$\frac{x^4 - a^2 x^2 \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right) - a^4\sqrt{6}}{x^4-2a^4} \geq 0$$In corrispondenza dei valori del parametro $a <0$, quali dei seguenti intervalli fanno parte della soluzione della disequazione?

Si consideri la disequazione$$ \frac{(1 - x^2)^2 - (x^2-2a)^2}{(1-x^2)(x^2 - 2a)} \leq \frac{8a}{1-4a^2}$$Le soluzioni dell’equazione associata sono$$ x = \pm \sqrt{\frac{1+4a^2}{2}} \qquad \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+4a^2}{a}}$$Di seguito sono elencate possibili soluzioni della disequazione: queste sono accettabili al variare del parametro $a$. Associare a ciascuna di esse l’intervallo cui deve appartenere il parametro $a$ affinchè sia la soluzione della disequazione.

È necessario che l’argomento di una radice di indice pari sia strettamente positivo.

Si considerino le due equazioni$$\sqrt{a-x} + \sqrt{a+x} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x}} \qquad \left(\sqrt{a-x} + \sqrt{a+x}\right)\left( \sqrt{a+x} - \sqrt{a-x} \right) = a \sqrt{2}$$Hanno la stessa soluzione? Indicare tutte le risposte corrette, con le annesse motivazioni.

Sia data la disequazione letterale razionale$$ \sqrt{x^2 + a} - x < \sqrt{a - 4x} $$Se si considerano valori del parametro $a$ compresi tra $-4$ e $0$, quali dei seguenti intervalli è la soluzione della disequazione?

Sia data l’equazione$$ \frac{1}{\sqrt{x+k} + \sqrt{x-k}} + \frac{1}{\sqrt{x+k} - \sqrt{x-k}} = \frac{x+k}{k} $$Per valori del parametro $k$ compresi tra $0$ e $\frac{1}{2}$, elencare di seguito le soluzioni dell’equazione. Scrivere le soluzioni nella forma $x = \dots$, separando eventuali soluzioni multiple con una virgola (ad esempio, “x = k, k+1”); se non sono presenti soluzioni, scrivere “nessuna soluzione”; se ogni valore di $x$ compreso nelle condizioni di esistenza è soluzione, scrivere “per ogni x”.