Prodotto scalare e vettoriale

Ciao Plinio! Per trovare gli esempi più pratici e comuni di prodotto scalare e vettoriale, io mi rifarei al mondo della fisica. Di esempi per il prodotto scalare, te ne posso proporre due: il lavoro, che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/lavoro-forza-elastica-lavoro-forza-peso-formula-lavoro-forze-conservative-energia-potenziale-forza-per-spostamento-14585.html, e il flusso di un campo vettoriale (il campo elettrostatico) attraverso una superficie, che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-legge-di-gauss-flusso-campo-elettrico-campo-vettoriale-14621.html. Nel primo caso, abbiamo che il lavoro $\mathcal{L}$ è pari al prodotto scalare tra forza $\vec{F}$ e spostamento $\vec{s}$,$$ \mathcal{L} = \vec{F} \cdot \vec{s} $$Nel caso del flusso, invece, si fa il prodotto scalare tra il campo elettrico $\vec{E}$ e il vettore normale alla superficie $\vec{n}$. In generale, il prodotto scalare c'entra con la proiezione di un vettore lungo una particolare direzione, e si chiama "scalare" perché, dati due vettori, ci restituisce un numero, ossia un elemento scalare, non vettoriale. Per il prodotto vettoriale, invece, ti rimanderei alle nostre lezioni sul momento angolare (questa https://library.weschool.com/lezione/momento-angolare-momento-inerzia-momento-della-quantita-di-moto-14813.html) e sul momento di una forza (che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/momento-della-forza-momento-meccanico-coppia-di-forze-corpo-rigido-fisica-14815.html). Ad esempio, il momento $\vec{M}$ della forza $\vec{F}$ applicata al punto $P$ rispetto al polo $O$, se chiamiamo $\vec{r}$ il vettore che da $O$ punta a $P$, viene calcolato come prodotto vettoriale tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$:$$ \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} $$Possiamo dire che il prodotto vettoriale sbuca fuori, almeno in fisica, quando qualcosa ruota o si sposta attorno a un punto o un'asse fissi, e tale prodotto si chiama "vettoriale" perché, dati due vettori, il loro prodotto vettoriale è ancora un vettore. Spero sia tutto chiaro! Se hai ulteriori dubbi o domande, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata.