Moto armonico semplice

Scusatemi, io ho qui un problema che non riesco a capire come svolgere. Un oggetto che si muove di moto armonico semplice ha una velocità massima di modulo 4,3 m/s e un'accelerazione massima di 0,65 m/s^2. Determina: a) l'ampiezza del moto; b) il periodo del moto. Se qualcuno può darmi qualche dritta, mi farebbe un grosso favore


il 11 Gennaio 2016, da Davide Marangoni

Donatella Menconi il 13 Gennaio 2016 ha risposto:

Ciao, non so quale che scuola frequenti e con quale livello di approfondimento avete affrontato il moto armonico, quindi cercherò di darti qualche indicazione utilizzando conoscenze che dovresti avere. Iniziamo dicendo che un moto armonico è un moto eseguito da un oggetto che sia soggetto ad una forza direttamente proporzionale allo spostamento da una posizione di equilibrio. Dunque una forza del tipo F=-Kx dove K è una costante e x lo spostamento. il segno meno indica che la forza ha stessa direzione ma verso opposto rispetto allo spostamento. D'ora in avanti eliminerò dalla trattazione il segno meno ragionando soltanto sui moduli delle grandezze in gioco. Dalla seconda legge della dinamica si ha che F=ma dunque ma=Kx da cui otteniamo a=(k/m)x. Il rapporto k/m si indica anche con w^2. Da questa si ricava che l'accelerazione massima si ha quando il nostro corpo ha raggiunto la distanza massima dalla posizione di equilibrio ( ampiezza del moto). Indicando tale ampiezza con L si avrá a(max)=w^2L. Vediamo adesso cosa possiamo dire della velocità. Una forza come quella indicata ( avrai notato che si tratta della legge di Hooke) è una forza conservativa, dunque l'energia meccanica è una costante. Tale energia sará tutta potenziale nel momento di massima distanza dalla posizione di equilibrio ( quando la velocità è nulla) mentre sará tutta cinetica quando l'oggetto si troverà a passare per la posizione di equilibrio ( dove l'energia potenziale è nulla e la velocitá massima). Poiché questi due valori devono uguagliarsi, si avrá 1/2mv(max)^2=1/2 kL^2 da cui otteniamo,con qualche semplice passaggio matematico: v(max)=wL. Con un po' di matematica possiamo verificare che a(max)/v(max)=w. Ricavato w possiamo ottenere L dalla formula precedentemente ottenuta per la velocità max L=v(max)/w. Avendo w possiamo ottenere il periodo dalla formula T=2pi/w ( con pi ho indicato pi greco).