Come decide il segno nelle formule di bisezione

Il segno nelle formule di bisezione viene scelto in base al quadrante nel quale si trova l'angolo α. Molte volte i libri di testo non propongono allo studente neanche il problema poiché viene elevato alla seconda. La mia domanda però è: se l'angolo di un esercizio dove sono presenti queste formule di bisezione non abbia un valore preciso (quindi semplicemente α), come posso scegliere se mettere il più o il meno davanti alla radice quadrata (considerando il fatto che non ci sia nemmeno un'elevamento a potenza ad aiutarmi)? Grazie in anticipo :)


il 01 Settembre 2015, da Giuseppe Pascoletti

Michele Ferrari il 01 Settembre 2015 ha risposto:

Ciao Giuseppe. La tua domanda è spinosa: ti dico subito che non c’è modo di scegliere una o l’altra formula, senza che si sappia qualcosa su $\alpha$. Il motivo di questa spiacevole situazione può essere spiegato come segue. Prendiamo per esempio questa formula: $$\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = + \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$Quando è valida questa relazione? C’è il segno $+$ davanti alla radice: questo significa che $\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ $\text{deve}$ essere maggiore di zero, altrimenti i segni dell’equazione non sono bilanciati. Di conseguenza: $$\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) > 0 \Leftrightarrow 2k\pi < \frac{\alpha}{2} < \pi + 2k\pi \Leftrightarrow 4k\pi < \alpha < 2\pi + 4k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$$Analogamente, la formula $$\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = - \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$vale per questi valori di $\alpha$: $$4k\pi + 2\pi < \alpha < 4\pi + 4k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$$Come interpretiamo questo risultato? Sostanzialmente, qui si sta dicendo che la formula “con il $+$” vale quando $\alpha$ è un angolo che sta in un degli intervalli $(0, 2\pi)$, $(4\pi, 6\pi)$, ma anche $(-4\pi, -2\pi)$, $(-8\pi, -6\pi)$ e così via; invece la formula “con il $-$” vale quando $\alpha$ è un angolo che sta in uno tra gli intervalli $(-2\pi, 0)$, $(2\pi, 4\pi)$, oppure $(-6\pi, -4\pi)$, eccetera. Come vedi è quindi fondamentale conoscere il valore assunto da $\alpha$! Spero che questo calcolo ti abbia convinto: ti invito comunque a usare con moltissima cautela le formule di bisezione di seno e coseno, dato che - come vedi - i ragionamenti che ci stanno dietro non sono proprio semplicissimi. Per completezza ti segnalo anche la lezione dedicata a queste formule: https://library.weschool.com/lezione/bisezione-formule-tangente-coseno-seno-trigonometria-formule-trigonometriche-13406.html. Buona giornata :)


Ti ringrazio per la completezza della risposta!! Alla prossima (speriamo senza formule di bisezione in mezzo!!) :) - Giuseppe Pascoletti 02 Settembre 2015

Di niente, a presto! (magari senza trigonometria direttamente, ma con qualcosa di più divertente... :D ) - Michele Ferrari 02 Settembre 2015